Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de sen no ponto .

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Isso envolve conhecimentos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, em seguida, usar essa inclinação junto com o ponto dado para escrever a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função , que nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Como temos um produto de duas funções, usamos a Regra do Produto para derivadas. A Regra do Produto diz que se , então .

Passo 4

Identificando as partes:
  • então
  • então (usando a regra da cadeia)
Aplicando a Regra do Produto:

Passo 5

Agora, queremos a inclinação da reta tangente no ponto . Vamos substituir na derivada :
Simplificando:
Sabemos que e , então:
Então, a inclinação da reta tangente é 4.

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a Equação da Reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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Calcule , onde e é uma constante.
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Decida se as funções abaixo são deriváveis no ponto .
Encontre a equação da reta normal ao gráfico de que é paralela à reta .