Calcule lim n infty log (n i)n i.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de uma expressão quando limn infty log(n i)n i tende ao infinito. A expressão é:
Aqui, estamos lidando com logaritmos e limites, que fazem parte do conteúdo de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular logaritmos de números complexos e como calcular limites envolvendo esses termos.

Passo 2

Vamos começar simplificando o logaritmo de um número complexo. Sabemos que log(z) = ln|z| + i cdot arg(z) é a unidade imaginária, onde . O logaritmo de um número complexo pode ser escrito como:
Onde é o módulo de e é o argumento (ângulo) de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos |n i| = n . Então:
arg(n i) = pi2
log(n i) = ln(n) + i cdot pi2
Portanto:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de volta na nossa fração original:
log(n i)n i = ln(n) + i cdot pi2n i
Vamos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
ln(n)n i + i cdot pi2n i

Passo 5

Simplificando cada termo:
  1. : O termo cresce mais lentamente que , então esse termo tende a 0 quando tende ao infinito.
  2. : Esse também tende a 0 conforme aumenta.

Passo 6

Portanto, somando os dois limiares que tendem a zero:
0 + 0 = 0

Resposta

limn infty log(n i)n i = 0

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