Mostre que a série
diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para mostrar que a série
diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série convergente ou divergente e usar alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série
. Aqui,
começa em 0 e vai infinito, e
é uma constante. Essa série é parecida com a série harmônica, que é
, conhecida por divergir. Vamos verificar se essa semelhança nos ajuda.
Passo 3
Lembrando, uma série
converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito quando vamos adicionando termos infinitamente. Caso contrário, a série diverge.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Série Harmônica, que diz que se os termos de uma série são comparáveis aos termos da série harmônica e não são menores, então a série original também diverge. No nosso caso, os termos são
.
Passo 5
Para
grande, o termo
se torna menos significativo comparado a
. Então,
é aproximadamente igual a
, que é o termo da série harmônica. Isso sugere que nossa série se comporta como a série harmônica.
Passo 6
Como sabemos que a série harmônica
diverge, e nossos termos são comparáveis a ela, podemos concluir que a série
também não converge.
Resposta
Portanto, a série
diverge.
Exercícios relacionados
Sabendo que o ângulo entre os vetores
e
é de 60 graus, determine o ângulo formado pelos vetores
(a)
(a)
Calcule
.
Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Verifique se
é um espaço vetorial sobre
com relação às seguintes operações:
b)
b)