Sejam uma base de .
(b) Calcule as coordenadas de na base F.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos pede. Temos um espaço vetorial tridimensional com uma base chamada . Outra base desse espaço é . A matéria envolvida aqui são as coordenadas de um vetor em diferentes bases e como encontrá-las. Para resolver, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base diferente usando sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor que queremos expressar na base . Esse vetor é . Nosso objetivo é encontrar os coeficientes tais que:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Comparando os coeficientes dos vetores , e nos dois lados da equação, temos:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Passo 5
Resolvendo as equações:
Da primeira equação, já sabemos que .
Substituindo na segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo na equação :
Passo 6
Agora que encontramos os valores de , e , podemos escrever as coordenadas do vetor na base :