Calcule
lim h 0 f(x+h)-f(x)h
sendo f dada por
(b) f(x)=2 x^2+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim h 0 f(x+h)-f(x)h
Aqui, estamos lidando com o conceito de derivada na matemática, que nos ajuda a entender como uma função muda em relação a uma variável. Vamos usar a definição de derivada para calcular isso para a função dada .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x+h) = 2(x+h)^2 + (x+h) e f(x) = 2x^2 + x na expressão do limite. Sabemos que:
E

Passo 3

Agora, vamos calcular f(x+h) - f(x) = [2(x+h)^2 + (x+h)] - [2x^2 + x] :
(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2
Expandindo f(x+h) - f(x) = 2(x^2 + 2xh + h^2) + x + h - 2x^2 - x :
= 2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h - 2x^2 - x
Substituindo de volta:
= 4xh + 2h^2 + h
Distribuindo o 2:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, vamos dividir tudo por f(x+h) - f(x)h = 4xh + 2h^2 + hh :
= h(4x + 2h + 1)h
Podemos fatorar o = 4x + 2h + 1 no numerador:
Cancelando o (desde que ):

Passo 5

Por fim, vamos calcular o limite quando lim h 0 (4x + 2h + 1) = 4x + 0 + 1 = 4x + 1 tende a 0:

Resposta

O limite é .

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