Calcule: lim x 0 3 x^2sin x

Passo 1

Então, temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 da função . Vamos usar conceitos de limites e regras de derivação para resolver isso. Precisaremos entender como o seno se comporta perto de 0 e, possivelmente, aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 3(0)^2sin 0 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos resolver o limite assim mesmo. Substituindo, temos:
Esse resultado é indefinido, ou seja, não conseguimos determinar o limite dessa forma. Quando isso ocorre, podemos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite no formato ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e, então, calcular o limite dos novos termos. No nosso caso, temos , então vamos aplicar a regra.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador limx to 0 6xcos x em relação a é .
  • Derivada do denominador em relação a é .
Agora, a nossa função fica:

Passo 5

Agora, vamos tentar substituir 6(0)cos 0 = 01 = 0 nessa nova função:

Resposta

Portanto, o limite é .

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2,0 Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y) = { x/(x+y), se (x, y) ≠ (0,0) ; 0, se (x, y) = (0,0) }
Calcule os limites, caso existam.
lim x -2 x^4-16x^2-4
Nos itens abaixo, determine partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=(x^3+(y / 2)^2 / 3)
2,0 Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = 2*x*y^2 no ponto (0, 1, f(0, 1)).