Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
não é diferenciável no ponto (0,0). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto, além de usar conceitos de limites e derivadas parciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Matematicamente, isso significa que o limite
deve existir, onde A e B são as derivadas parciais de f em (0,0).
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de f em (0,0). A derivada parcial em relação a x é:
Mas esse limite não existe, pois quando h se aproxima de 0, tende ao infinito. Isso já indica que a derivada parcial em x não existe em (0,0).
Passo 4
Mesmo que uma das derivadas parciais não exista, vamos verificar o comportamento do limite que define a diferenciabilidade para confirmar. Substituindo e supondo que A e B são as derivadas parciais (que já vimos que podem não existir), temos:
Como a derivada parcial em x não existe, esse limite não pode ser zero. Além disso, podemos analisar caminhos diferentes que chegam a (0,0) e ver que o limite varia, indicando que não há uma aproximação linear consistente.
Resposta
Concluímos que a função f(x, y) não é diferenciável no ponto (0,0), pois as derivadas parciais não existem nesse ponto e o limite necessário para a diferenciabilidade não é satisfatório.