2,0 Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y) = { x/(x+y), se (x, y) ≠ (0,0) ; 0, se (x, y) = (0,0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
não é diferenciável no ponto (0,0). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto, além de usar conceitos de limites e derivadas parciais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Matematicamente, isso significa que o limite
deve existir, onde A e B são as derivadas parciais de f em (0,0).

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f em (0,0). A derivada parcial em relação a x é:
Mas esse limite não existe, pois quando h se aproxima de 0, tende ao infinito. Isso já indica que a derivada parcial em x não existe em (0,0).

Passo 4

Mesmo que uma das derivadas parciais não exista, vamos verificar o comportamento do limite que define a diferenciabilidade para confirmar. Substituindo e supondo que A e B são as derivadas parciais (que já vimos que podem não existir), temos:
Como a derivada parcial em x não existe, esse limite não pode ser zero. Além disso, podemos analisar caminhos diferentes que chegam a (0,0) e ver que o limite varia, indicando que não há uma aproximação linear consistente.

Resposta

Concluímos que a função f(x, y) não é diferenciável no ponto (0,0), pois as derivadas parciais não existem nesse ponto e o limite necessário para a diferenciabilidade não é satisfatório.

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Calcule os limites, caso existam.
lim x -2 x^4-16x^2-4
Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
p(x) = { sen(x)/x, se x<0, 1, se x=0, (e^x - 1)/x, se x>0 }
Calcule: lim x 0 3 x^2sin x
Nos itens abaixo, determine partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=(x^3+(y / 2)^2 / 3)