Calcule: lim x 1^+ x^2-9x^2+2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite: lim x 1^+ x^2-9x^2+2 x-3. Aqui estamos trabalhando com limites de funções racionais, que é um tópico de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e analisar o comportamento da função perto do ponto x = 1 pelo lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função. Olha só, o numerador x^2-9 pode ser fatorado como uma diferença de quadrados. A diferença de quadrados é uma técnica onde a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Aplicando isso aqui:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 + 2x - 3. Para fatorar um trinomio do tipo x^2 + bx + c, procuramos dois números que multiplicados dão c e somados dão b. Aqui, precisamos de dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1, pois 3 times (-1) = -3 e 3 + (-1) = 2. Então, fatorando:
x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x^2-9x^2+2x-3 = (x - 3)(x + 3)(x + 3)(x - 1)

Passo 5

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo comum (x + 3) no numerador e no denominador:
(x - 3)cancel(x + 3)cancel(x + 3)(x - 1) = x - 3x - 1

Passo 6

Com a expressão simplificada, o limite fica:
lim x 1^+ x - 3x - 1
Agora, vamos analisar o comportamento dessa função quando x se aproxima de 1 pela direita.

Passo 7

Substituindo x = 1 diretamente na função simplificada, teríamos uma divisão por zero, o que não é definido. Então, precisamos observar os sinais dos termos quando x se aproxima de 1 pelo lado direito ( x 1^+):
  • x - 3 quando x 1^+: 1 - 3 = -2 (negativo)
  • x - 1 quando x 1^+: um número ligeiramente maior que 1 menos 1 resulta em um número pequeno positivo

Passo 8

Então, a fração x - 3x - 1 está representando um número negativo dividido por um número positivo muito pequeno. Isso significa que o valor da fração vai para menos infinito.

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x 1^+ x^2-9x^2+2 x-3 = -infty

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