Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo
b) do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região R, limitada pelas curvas
e
, em torno do eixo
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou cilindros. Vamos precisar entender como montar a integral que representa esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Temos:
Resolvendo essa equação:
Então, a região R está entre
e
.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo
, é mais conveniente usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método nos permite integrar em relação a
, calculando a “casca” de cada pequeno intervalo de
.
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
-
é a distância do eixo de rotação (no caso, eixo ), -
e s��o as funções que delimitam a região, -
e são os limites de integração.
Passo 4
Identificando
e
na nossa situação:
Então, a diferença
representa a altura da casca cilíndrica em cada
:
Passo 5
Agora, substituindo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Passo 7
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
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