Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região R, limitada pelas curvas e , em torno do eixo . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou cilindros. Vamos precisar entender como montar a integral que representa esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Temos:
Resolvendo essa equação:
Então, a região R está entre e .

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo , é mais conveniente usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método nos permite integrar em relação a , calculando a “casca” de cada pequeno intervalo de .
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é a distância do eixo de rotação (no caso, eixo ),
  • e s��o as funções que delimitam a região,
  • e são os limites de integração.

Passo 4

Identificando e na nossa situação:
á
Então, a diferença representa a altura da casca cilíndrica em cada :

Passo 5

Agora, substituindo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:

Passo 7

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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