Calcule: lim x 3^+ x^2-9x^2-6 x+9

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está no conteúdo de Cálculo de Limites, onde vamos analisar o comportamento de uma função quando se aproxima de um valor específico. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão algébrica e entender como as partes dela se comportam próximo a .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador da fração. O numerador é x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) , que é uma diferença de quadrados. Sabemos que , então podemos fatorar o numerador assim:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 . Esse é um trinômio quadrado perfeito, porque ele pode ser escrito como :

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x^2-9x^2-6 x+9 = (x - 3)(x + 3)(x - 3)^2

Passo 5

Podemos simplificar essa fração cancelando um (x - 3)(x + 3)(x - 3)^2 = x + 3x - 3 do numerador e do denominador:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite . Quando se aproxima de 3 pela direita ( ), o denominador se aproxima de 0 por valores positivos, o que faz com que a fração aumente sem limites.

Resposta

O limite é .

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