Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
.
Passo 1
Aqui, o enunciado nos pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu valor. Vamos resolver isso utilizando conceitos de cálculo integral, especialmente sobre a convergência de integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão da integral. Observando que temos
no numerador, podemos reescrever a integral como:
Passo 3
Para determinar a convergência dessa integral, vamos analisar o comportamento da função integranda quando
tende ao infinito. Sabemos que
decai muito rapidamente conforme
aumenta, o que sugere que a integral possa ser convergente.
Passo 4
Vamos comparar a função integranda com uma função mais simples cujo comportamento de convergência já conhecemos. Observamos que:
para
, já que
.
Passo 5
Sabemos que a integral
é convergente, pois
decai mais rapidamente que qualquer função polinomial de
. Portanto, pela comparação, a integral original também converge.
Passo 6
Agora que estabelecemos a convergência, vamos tentar calcular o valor da integral. Vamos fazer a substituição
, então
, ou seja,
. No entanto, temos um
na função original, então:
Essa substituição não simplifica diretamente a integral devido ao termo
no denominador. Portanto, uma solução exata pode não ser possível usando funções elementares.
Resposta
A integral
é convergente, mas não pode ser expressa em termos de funções elementares para obtenção de um valor exato.
Exercícios relacionados
I - se
é convergente, então
II - se , então
é convergente;
III - é convergente se, e somente se,
é convergente para todo
.
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas .
II - se
III -
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela.
.
Calcule: