Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. .

Passo 1

Aqui, o enunciado nos pede para determinar se a integral é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu valor. Vamos resolver isso utilizando conceitos de cálculo integral, especialmente sobre a convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão da integral. Observando que temos no numerador, podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Para determinar a convergência dessa integral, vamos analisar o comportamento da função integranda quando tende ao infinito. Sabemos que decai muito rapidamente conforme aumenta, o que sugere que a integral possa ser convergente.

Passo 4

Vamos comparar a função integranda com uma função mais simples cujo comportamento de convergência já conhecemos. Observamos que:
para , já que .

Passo 5

Sabemos que a integral é convergente, pois decai mais rapidamente que qualquer função polinomial de . Portanto, pela comparação, a integral original também converge.

Passo 6

Agora que estabelecemos a convergência, vamos tentar calcular o valor da integral. Vamos fazer a substituição , então , ou seja, . No entanto, temos um na função original, então:
Essa substituição não simplifica diretamente a integral devido ao termo no denominador. Portanto, uma solução exata pode não ser possível usando funções elementares.

Resposta

A integral é convergente, mas não pode ser expressa em termos de funções elementares para obtenção de um valor exato.

Exercícios relacionados

I - se é convergente, então
II - se , então é convergente;
III - é convergente se, e somente se, é convergente para todo .
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas .
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela. .
Calcule: