Esboce a curva e calcule a área limitada por ela. r = 3 cos(theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar a curva definida por e calcular a área que ela delimita. Isso está dentro da matéria de Coordenadas Polares, onde usamos expressões em e para descrever curvas. Para resolver, vamos precisar entender como converter essa equação para desenhar o gráfico e usar a fórmula da área em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essa curva se comporta. A equação representa uma circunferência no plano polar. Para desenhar, podemos calcular alguns pontos para diferentes valores de :
  • Quando ,
  • Quando ,
  • Quando , (no plano polar, isso é o mesmo que , )
  • Repetindo para outros valores, vemos que a curva forma uma circunferência de raio com o centro na coordenada .

Passo 3

Agora, para calcular a área delimitada por essa curva, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
No nosso caso, . Precisamos determinar os limites de integração e que cobrem toda a curva. Como a curva completa é traçada de a , podemos usar esses limites.

Passo 4

Vamos substituir na fórmula da área:
Agora, precisamos integrar . Sabemos que:
Substituindo isso na integral:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
Avaliado de a :

Passo 6

Agora, multiplicamos pela constante que tínhamos fora da integral:

Resposta

A área limitada pela curva é unidades quadradas.

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