Esboce a curva e calcule a área limitada por ela.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar a curva definida por
e calcular a área que ela delimita. Isso está dentro da matéria de Coordenadas Polares, onde usamos expressões em
e
para descrever curvas. Para resolver, vamos precisar entender como converter essa equação para desenhar o gráfico e usar a fórmula da área em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essa curva se comporta. A equação
representa uma circunferência no plano polar. Para desenhar, podemos calcular alguns pontos para diferentes valores de
:
- Quando
, - Quando
, - Quando
, (no plano polar, isso é o mesmo que , ) - Repetindo para outros valores, vemos que a curva forma uma circunferência de raio
com o centro na coordenada .
Passo 3
Agora, para calcular a área delimitada por essa curva, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
No nosso caso,
. Precisamos determinar os limites de integração
e
que cobrem toda a curva. Como a curva completa é traçada de
a
, podemos usar esses limites.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula da área:
Agora, precisamos integrar
. Sabemos que:
Substituindo isso na integral:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Avaliado de
a
:
Passo 6
Agora, multiplicamos pela constante que tínhamos fora da integral:
Resposta
A área limitada pela curva
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
.
I - se
é convergente, então
II - se , então
é convergente;
III - é convergente se, e somente se,
é convergente para todo
.
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas .
II - se
III -
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas
Calcule:
Calcule: