Calcule:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta quando está próximo de zero e usar algumas propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração dentro do cosseno: . Quando está perto de zero, podemos usar a série de Taylor para aproximar . A expansão de em torno de é:
Isso significa que, para valores pequenos de , é aproximadamente .

Passo 3

Substituindo essa aproximação no denominador:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos olhar para a fração dentro do cosseno:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então:

Passo 5

Agora que simplificamos a fração dentro do cosseno para aproximadamente , substituímos de volta na expressão original:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, o limite é .

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Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função é contínua.
A afirmação
Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em
Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em .