Calcule:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta quando
está próximo de zero e usar algumas propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração dentro do cosseno: . Quando
está perto de zero, podemos usar a série de Taylor para aproximar . A expansão de em torno de
é:
Isso significa que, para valores pequenos de
, é aproximadamente
.
Passo 3
Substituindo essa aproximação no denominador:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos olhar para a fração dentro do cosseno:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, então:
Passo 5
Agora que simplificamos a fração dentro do cosseno para aproximadamente
, substituímos de volta na expressão original:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, o limite é
.
Exercícios relacionados
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
A afirmação
Determine o valor de
, caso exista, para que a função dada seja contínua em
.
em
Determine o valor de
, caso exista, para que a função dada seja contínua em
.
em
.