Calcule:
(a) lim x 0 cos (xsen x-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta quando está próximo de zero e usar algumas propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração dentro do cosseno: . Quando sen x = x - x^36 + O(x^5) está perto de zero, podemos usar a série de Taylor para aproximar . A expansão de em torno de é:
Isso significa que, para valores pequenos de , é aproximadamente .

Passo 3

Substituindo essa aproximação no denominador:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos olhar para a fração dentro do cosseno:
Quando xsen x - 2x approx x-x (1 + x^26) = 1- (1 + x^26) = -11 + x^26 se aproxima de 0, -11 + x^26 approx -1 também se aproxima de 0, então:

Passo 5

Agora que simplificamos a fração dentro do cosseno para aproximadamente cos(xsen x - 2x) approx cos(-1) , substituímos de volta na expressão original:
Sabemos que cos(-1) = cos(1) , então:

Resposta

Portanto, o limite é .

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