Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . Isso envolve entender o que significa continuidade de uma função e como calcular limites, que são os conceitos principais aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, para ser contínua em , precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2. A função é dada por:
Para , podemos simplificar a expressão . Note que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, substituindo na função:

Passo 4

Agora, podemos simplificar cancelando o termo no numerador e denominador, desde que :
Então, para , .

Passo 5

Com isso, o limite de quando se aproxima de 2 é:

Passo 6

Para a função ser contínua em , esse limite deve ser igual ao valor da função em 2, que é :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

Exercícios relacionados

Calcule:
(a)
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função é contínua.
Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em .
A função é contínua em . E em ? Justifique.