Determine o valor de
, caso exista, para que a função dada seja contínua em
.
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de
que faz a função
ser contínua no ponto
. Isso envolve entender o que significa continuidade de uma função e como calcular limites, que são os conceitos principais aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, para
ser contínua em
, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2. A função é dada por:
Para
, podemos simplificar a expressão
. Note que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, substituindo na função:
Passo 4
Agora, podemos simplificar cancelando o termo
no numerador e denominador, desde que
:
Então, para
,
.
Passo 5
Com isso, o limite de
quando
se aproxima de 2 é:
Passo 6
Para a função ser contínua em
, esse limite deve ser igual ao valor da função em 2, que é
:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.
Exercícios relacionados
Calcule:
(a)
(a)
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
Determine o valor de
, caso exista, para que a função dada seja contínua em
.
em
.
A função
é contínua em
. E em
? Justifique.