Determine o valor de
, caso exista, para que a função dada seja contínua em
.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor de
que faz a função
ser contínua em
. Vamos usar conceitos de limites e continuidade para chegar nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor de
. Ou seja:
Passo 3
No nosso caso,
e
. Então, precisamos calcular:
Se esse limite existir e for igual a
, a função será contínua em 0.
Passo 4
Vamos analisar o limite de
quando
se aproxima de 0. A função é definida por:
Então, para
,
.
Passo 5
Vamos simplificar
. Sabemos que:
Isso porque o valor absoluto de
é sempre positivo, então dividindo por
, que pode ser positivo ou negativo, temos 1 ou -1.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite à direita (
se aproximando de 0 pelo lado positivo) e o limite à esquerda (
se aproximando de 0 pelo lado negativo):
Passo 7
Perceba que os limites pela direita e pela esquerda são diferentes: 1 e -1. Quando os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe.
Passo 8
Como o limite de
quando
se aproxima de 0 não existe, não tem como igualar esse limite a
. Ou seja, não existe um valor de
que torne a função contínua em
.
Resposta
Não existe um valor de
que torne a função contínua em
.
Exercícios relacionados
Determine o valor de
, caso exista, para que a função dada seja contínua em
.
em
Calcule:
(a)
(a)
A função
é contínua em
. E em
? Justifique.
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.