Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor de que faz a função ser contínua em . Vamos usar conceitos de limites e continuidade para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor de . Ou seja:

Passo 3

No nosso caso, e . Então, precisamos calcular:
Se esse limite existir e for igual a , a função será contínua em 0.

Passo 4

Vamos analisar o limite de quando se aproxima de 0. A função é definida por:
Então, para , .

Passo 5

Vamos simplificar . Sabemos que:
Isso porque o valor absoluto de é sempre positivo, então dividindo por , que pode ser positivo ou negativo, temos 1 ou -1.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite à direita ( se aproximando de 0 pelo lado positivo) e o limite à esquerda ( se aproximando de 0 pelo lado negativo):

Passo 7

Perceba que os limites pela direita e pela esquerda são diferentes: 1 e -1. Quando os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe.

Passo 8

Como o limite de quando se aproxima de 0 não existe, não tem como igualar esse limite a . Ou seja, não existe um valor de que torne a função contínua em .

Resposta

Não existe um valor de que torne a função contínua em .

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Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em
Calcule:
(a)
A função é contínua em . E em ? Justifique.
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função é contínua.