Calcule.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. O enunciado nos pede para calcular o limite de uma função quando
se aproxima de 0. A expressão que temos é
. O conteúdo aqui é sobre limites, que é uma parte importante do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a função cosseno e como podemos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão
. Quando
se aproxima de 0, o
se aproxima de 1. Então
se aproxima de
, que é 0. Portanto, tanto o numerador quanto o denominador da fração tende a 0 quando
se aproxima de 0. Isso é uma indeterminação do tipo
, e precisamos de uma estratégia para resolver isso.
Uma técnica comum quando lidamos com limites que resultam em indeterminação é usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente. Mas antes de aplicar, vamos lembrar que existe uma identidade muito útil: para pequenos valores de
, podemos usar a aproximação que
. Isso vai nos ajudar!
Passo 3
Agora, podemos substituir
na nossa expressão original. Assim, ficamos com:
Agora, vamos simplificar a fração:
Passo 4
Agora que simplificamos, temos:
Agora é facinho, pois, quando
se aproxima de 0, a expressão
também se aproxima de 0. Então, o limite se torna:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Um gás isolado, com n moles a temperatura T , ocupa o volume
com número de microestados
. Este gás se expanda até
e passa a ocupar
microestados. Qual a variação de entropia na expansão livre desse gás.
Um moto automotivo realiza, por ciclo, 1.000 J de trabalho para cada 5.000 J de calor consumidos. O calor é obtido pela queima de combustível que possui
. Qual a eficiência do motor? Qual a massa de combustível consumida em cada ciclo?
Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
L. Calcule
Suponha que 1 kg de água a
seja colocado em contato térmico com 1 kg de água a
. Qual a variação da entropia do sistema? Dado: calor específico da água igual a .190
.K.