Calcule. lim x 0 1-cos xx

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. O enunciado nos pede para calcular o limite de uma função quando x se aproxima de 0. A expressão que temos é 1-cos xx. O conteúdo aqui é sobre limites, que é uma parte importante do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a função cosseno e como podemos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão 1 - cos x. Quando x se aproxima de 0, o cos x se aproxima de 1. Então 1 - cos x se aproxima de 1 - 1, que é 0. Portanto, tanto o numerador quanto o denominador da fração tende a 0 quando x se aproxima de 0. Isso é uma indeterminação do tipo 00, e precisamos de uma estratégia para resolver isso.
Uma técnica comum quando lidamos com limites que resultam em indeterminação é usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente. Mas antes de aplicar, vamos lembrar que existe uma identidade muito útil: para pequenos valores de x, podemos usar a aproximação que 1 - cos x approx x^22. Isso vai nos ajudar!

Passo 3

Agora, podemos substituir 1 - cos x na nossa expressão original. Assim, ficamos com:
lim x 0 1 - cos xx approx lim x 0 x^22x
Agora, vamos simplificar a fração:
x^22x = x2

Passo 4

Agora que simplificamos, temos:
lim x 0 x2
Agora é facinho, pois, quando x se aproxima de 0, a expressão x2 também se aproxima de 0. Então, o limite se torna:
02 = 0

Resposta

O limite lim x 0 1-cos xx é igual a 0.

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