Calcule.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. O enunciado nos pede para calcular o limite de uma função quando se aproxima de 0. A expressão que temos é . O conteúdo aqui é sobre limites, que é uma parte importante do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a função cosseno e como podemos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Quando se aproxima de 0, o se aproxima de 1. Então se aproxima de , que é 0. Portanto, tanto o numerador quanto o denominador da fração tende a 0 quando se aproxima de 0. Isso é uma indeterminação do tipo , e precisamos de uma estratégia para resolver isso.
Uma técnica comum quando lidamos com limites que resultam em indeterminação é usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente. Mas antes de aplicar, vamos lembrar que existe uma identidade muito útil: para pequenos valores de , podemos usar a aproximação que . Isso vai nos ajudar!

Passo 3

Agora, podemos substituir na nossa expressão original. Assim, ficamos com:
Agora, vamos simplificar a fração:

Passo 4

Agora que simplificamos, temos:
Agora é facinho, pois, quando se aproxima de 0, a expressão também se aproxima de 0. Então, o limite se torna:

Resposta

O limite é igual a .

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