Seja definida em e seja um real dado. Suponha que L. Calcule

Passo 1

Vamos entender o enunciado do exercício. Estamos trabalhando com limites, que é um conceito importante em cálculo. O que queremos calcular é . Também nos foi dado que L, que é um limite que já existe. Este limite tem uma relação direta com a derivada da função em .
Para resolver, vamos usar a definição de derivada e a relação dos limites que temos.

Passo 2

A expressão que queremos calcular, , é a definição de derivada da função no ponto . Em outras palavras, estamos vendo como a função se comporta quando nos afastamos um pouquinho de (que é o que representa).
A expressão dada no enunciado, L, também é a definição de derivada, só que utiliza ao invés de . Quando o se aproxima de , a fração se comporta como a fração que estamos vendo com .
Na verdade, pelos limites que temos, podemos concluir que:
Isso significa que ambos os limites são iguais!

Passo 3

Como já sabemos que L, podemos concluir que:
Portanto, o que estamos buscando, , é igual a .

Resposta

Assim, a resposta para o exercício é .

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