Seja f definida em R e seja p um real dado. Suponha que lim x p f(x)-f(p)x-p= L. Calcule lim h 0 f(p+h)-f(p)h

Passo 1

Vamos entender o enunciado do exercício. Estamos trabalhando com limites, que é um conceito importante em cálculo. O que queremos calcular é lim h 0 f(p+h)-f(p)h. Também nos foi dado que lim x p f(x)-f(p)x-p= L, que é um limite que já existe. Este limite tem uma relação direta com a derivada da função em p.
Para resolver, vamos usar a definição de derivada e a relação dos limites que temos.

Passo 2

A expressão que queremos calcular, lim h 0 f(p+h)-f(p)h, é a definição de derivada da função f no ponto p. Em outras palavras, estamos vendo como a função f se comporta quando nos afastamos um pouquinho de p (que é o que h representa).
A expressão dada no enunciado, lim x p f(x)-f(p)x-p= L, também é a definição de derivada, só que utiliza x ao invés de h. Quando o x se aproxima de p, a fração se comporta como a fração que estamos vendo com h.
Na verdade, pelos limites que temos, podemos concluir que:
lim h 0 f(p+h)-f(p)h = lim x p f(x)-f(p)x-p
Isso significa que ambos os limites são iguais!

Passo 3

Como já sabemos que lim x p f(x)-f(p)x-p= L, podemos concluir que:
lim h 0 f(p+h)-f(p)h = L
Portanto, o que estamos buscando, lim h 0 f(p+h)-f(p)h, é igual a L.

Resposta

Assim, a resposta para o exercício é L.

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