Encontre a derivada de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1} $. Isso tá no campo do cálculo diferencial, especificamente usando a Regra do Quociente pra derivar uma função que é uma divisão de duas outras funções. Vamos precisar identificar essas funções e aplicar a regra certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da fração. Vamos chamar:
- $ u(x) = x^{2} + 1 $ (a parte de cima)
- $ v(x) = x - 1 $ (a parte de baixo)
Passo 3
Agora, a gente precisa encontrar as derivadas dessas duas funções separadamente.
- Derivada de $ u(x) $: $ u’(x) = 2x $
- Derivada de $ v(x) $: $ v’(x) = 1 $
Passo 4
Vamos aplicar a Regra do Quociente, que diz que se $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então:
Isso basicamente significa que a derivada da fração é a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.
Passo 5
Substituindo os valores que já temos na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na fórmula da derivada:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1} $ é: