Encontre a derivada de f(x)=x^2+1x-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1} $. Isso tá no campo do cálculo diferencial, especificamente usando a Regra do Quociente pra derivar uma função que é uma divisão de duas outras funções. Vamos precisar identificar essas funções e aplicar a regra certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da fração. Vamos chamar:
  • $ u(x) = x^{2} + 1 $ (a parte de cima)
  • $ v(x) = x - 1 $ (a parte de baixo)

Passo 3

Agora, a gente precisa encontrar as derivadas dessas duas funções separadamente.
  • Derivada de $ u(x) $: $ u’(x) = 2x $
  • Derivada de $ v(x) $: $ v’(x) = 1 $

Passo 4

Vamos aplicar a Regra do Quociente, que diz que se $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então:
f(x) = u(x)v(x)
Isso basicamente significa que a derivada da fração é a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 5

Substituindo os valores que já temos na fórmula:
f'(x) = (2x) cdot (x - 1) - (x^2 + 1) cdot 1(x - 1)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
(2x)(x - 1) = 2x^2 - 2x
Então, o numerador fica:
2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1

Passo 7

Agora, substituímos de volta na fórmula da derivada:
f'(x) = x^2 - 2x - 1(x - 1)^2

Resposta

A derivada de $ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1} $ é:
f(x) = x^2 + 1x - 1

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