Calcule lim x infty 2 x^3+3 x-1x^3+x^2+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando $ x $ tende ao infinito da função $ \frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{3} + x^{2} + 1} $. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo, mais especificamente em Limites de Funções Racionais. Para resolver, vamos usar algumas propriedades dos limites e entender como os termos com maior grau em $ x $ influenciam o resultado quando $ x $ cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os polinômios no numerador e no denominador da fração. No numerador temos $ 2x^{3} + 3x - 1 $ e no denominador $ x^{3} + x^{2} + 1 $. Quando $ x $ tende ao infinito, os termos com o maior grau são os que mais influenciam o comportamento da função. Ou seja, os termos $ 2x^{3} $ no numerador e $ x^{3} $ no denominador são os que vão dominar.

Passo 3

Agora, para simplificar, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por $ x^{3} $, que é o maior grau presente. Assim, a expressão fica:
x^3

Passo 4

Observando essa nova expressão, percebemos que, quando $ x $ tende ao infinito, os termos $ \frac{3}{x^{2}} $, $ \frac{1}{x^{3}} $, $ \frac{1}{x} $ também tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:
x

Resposta

O limite é igual a $ 2 $.

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