Solenoide ideal. Dado um solenoide com corrente
, de comprimento muito grande e espiras circulares muito próximas, com
espiras por unidade de comprimento. a) Encontre a indutância do solenoide e, através dela, obtenha a energia potencial magnética; b) A partir do campo magnético no volume interior do solenoide, obtenha a energia potencial magnética. Resp. a)
b) e
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre solenoides ideais. Basicamente, precisamos encontrar a indutância do solenoide e a energia potencial magnética de duas maneiras diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, como campo magnético, indutância e energia magnética. Vamos precisar das fórmulas relacionadas a esses tópicos e entender como aplicar cada uma delas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) do exercício: encontrar a indutância do solenoide e, a partir daí, a energia potencial magnética.
A indutância $ L $ de um solenoide é uma medida de quanto de indutância ele possui, ou seja, quanta resistência ele oferece à mudança de corrente elétrica que passa por ele. A fórmula para a indutância de um solenoide ideal é:
Onde:
- $ \mu_{0} $ é a permeabilidade do vácuo.
- $ n $ é o número de espiras por unidade de comprimento.
- $ l $ é o comprimento do solenoide.
- $ A $ é a área da seção transversal do solenoide.
Passo 3
Agora que temos a indutância $ L $, podemos calcular a energia potencial magnética $ U $ armazenada no solenoide. A energia magnética é dada por:
Substituindo a expressão de $ L $ que encontramos:
Essa é a energia potencial magnética em termos da indutância e da corrente $ i $.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b): obter a energia potencial magnética a partir do campo magnético no volume interior do solenoide.
Primeiro, precisamos expressar o campo magnético $ B $ dentro do solenoide. Para um solenoide ideal, o campo magnético é dado por:
Onde $ i $ é a corrente que passa pelo solenoide.
Passo 5
Com o campo magnético $ B $ conhecido, podemos calcular a energia potencial magnética $ U $ integrando a densidade de energia magnética sobre o volume $ V $ do solenoide:
Substituindo $ B = \mu_{0} n i $:
Sabendo que o volume $ V $ do solenoide é $ l A $, onde $ l $ é o comprimento e $ A $ a área da seção transversal:
Resposta
a) A indutância do solenoide é $ L = \mu_{0} n^{2} l A $ e a energia potencial magnética é $ U = \frac{1}{2} \mu_{0} n^{2} l A i^{2} $.
b) O campo magnético no interior do solenoide é $ B = \mu_{0} n i $ e a energia potencial magnética obtida através do campo é $ U = \frac{1}{2} \mu_{0} n^{2} l A i^{2} $.