Calcule
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Passo 1
Vamos calcular o limite de $ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x(\ln x)^{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades dos logaritmos. Precisaremos entender como funções polinomiais e logarítmicas se comportam quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando $ x $ se aproxima de 0 pelo lado positivo:
- $ x $ tende a 0.
- $ \ln x $ tende a $ -\infty $ porque o logaritmo de números muito pequenos positivos é um número negativo muito grande.
- Portanto, $ (\ln x)^{2} $ tende a $ (+\infty) $ já que o quadrado de um número negativo grande é positivo.
Então, temos uma expressão do tipo $ 0 \times (+\infty) $, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma maneira que nos permita aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Reescrevemos a expressão $ x(\ln x)^{2} $ como uma fração:
Agora, o limite se torna:
Essa forma é do tipo $ \frac{+\infty}{+\infty} $, o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital. A regra diz que se o limite resulta em uma forma indeterminada $ \frac{\infty}{\infty} $ ou $ \frac{0}{0} $, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite de $ -2 x \ln x $ quando $ x $ tende a 0 pelo lado positivo.
Sabemos que $ \ln x $ tende a $ -\infty $ e $ x $ tende a 0. Então, a expressão $ x \ln x $ tende a 0, porque o $ x $ vai a 0 mais rapidamente do que $ \ln x $ vai a $ -\infty $.
Portanto:
Resposta
O limite é 0.