Calcule:
lim x 0 integral0^x cos (t^2) d tintegral0^x e^-t^2 d t
Resposta: 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas integrais. A questão é calcular o limite quando lim x 0 integral0^x cos (t^2) ,dtintegral0^x e^-t^2 ,dt tende a 0 de:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, integrais e como elas se comportam quando está se aproximando de 0.

Passo 2

Quando temos um limite que envolve duas funções que vão para 0, como é o caso das integrais no numerador e denominador quando limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) tende a 0, podemos usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que:
desde que os limites dos denominadores e numeradores sejam 0 ou e que as derivadas existam.

Passo 3

Vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Para isso, calculamos as integrais quando integral0^0 cos(t^2) ,dt = 0 e integral0^0 e^-t^2 ,dt = 0 :
Ambas as integrais são 0, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Agora, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx ( integral0^x cos(t^2) ,dt ) = cos(x^2) . Lembrando que a derivada de uma integral de ddx ( integral0^x e^-t^2 ,dt ) = e^-x^2 a de uma função é simplesmente (Teorema Fundamental do Cálculo).
Então:

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite se transforma em:
lim x 0 cos(x^2)e^-x^2
Agora, substituímos cos(0^2) = cos(0) = 1 nas funções:
e^-0^2 = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a:
1

Exercícios relacionados

Se sigma(t) = e^(lambda t) i + e^(-lambda t) j, onde lambda é uma constante, mostre que sigma(t) satisfaz a equação
sigma''(t) - lambda^2 sigma(t) = 0
Determine a derivada das seguintes funções: F(t)=integralt^3 sen xx d x, Resposta: F^prime(t)=-sen tt
Determine a derivada direcional de F(x, y, z) = x^2 * y * z^3 ao lougo da curva α(t) = (e^(-t), 2) sent t + 1, t - cos(t), no ponto P = alpha(0), na direção do vetor tangente à curva.
Utilize integração por partes para calcular: integral(x+3) e^2 x d x Resposta: 12(x+3) e^2 x-14 e^2 x+c