Calcule:
Resposta: 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas integrais. A questão é calcular o limite quando
tende a 0 de:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, integrais e como elas se comportam quando
está se aproximando de 0.
Passo 2
Quando temos um limite que envolve duas funções que vão para 0, como é o caso das integrais no numerador e denominador quando
tende a 0, podemos usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que:
desde que os limites dos denominadores e numeradores sejam 0 ou
e que as derivadas existam.
Passo 3
Vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Para isso, calculamos as integrais quando
:
Ambas as integrais são 0, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Agora, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
. Lembrando que a derivada de uma integral de
a
de uma função
é simplesmente
(Teorema Fundamental do Cálculo).
Então:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite se transforma em:
Agora, substituímos
nas funções:
Resposta
O limite é igual a:
Exercícios relacionados
Se
, onde
é uma constante, mostre que
satisfaz a equação
Determine a derivada das seguintes funções:
Resposta:
Determine a derivada direcional de
ao lougo da curva
sent
, no ponto
, na direção do vetor tangente à curva.
Utilize integração por partes para calcular:
Resposta: