Determine a derivada das seguintes funções: F(t)=integralt^3 sen xx d x, Resposta: F^prime(t)=-sen tt

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas, especificamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos ver como aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Basicamente, se você tem uma função definida como uma integral com um limite que depende de F'(t) = f(b(t)) cdot b'(t) - f(a(t)) cdot a'(t) , ou seja, , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que derivamos a integral considerando como os limites inferiores e superiores mudam com .

Passo 3

No nosso caso, a função é F'(t) = sin b(t)b(t) cdot b'(t) - sin a(t)a(t) cdot a'(t) . Aqui, o limite inferior é F'(t) = sin 33 cdot 0 - sin tt cdot 1 = 0 - sin tt = -sin tt e o limite superior é constante, .
Vamos aplicar a fórmula:
Sabemos que que é constante, então . E , então .
Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

A derivada da função é .

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