Calcule lim x 0 integral0^x e^cos ^2(t) d tsin (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui estamos lidando com cálculo, especificamente limites que envolvem integrais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0. Isso nos coloca na situação de uma forma indeterminada , que é perfeita para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas: . Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • A derivada de em relação a é . Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral com limite variável é a função integranda avaliada nesse limite.
  • A derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital:
lim x 0 integral0^x e^cos ^2(t) , dtsin (x) = limx to 0 e^cos^2(x)cos(x)

Passo 6

Vamos calcular esse novo limite substituindo e^cos^2(0)cos(0) = e1 = e :
  • , então
Portanto:

Resposta

O limite é .

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