Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui estamos lidando com cálculo, especificamente limites que envolvem integrais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando
se aproxima de 0, tanto o numerador
quanto o denominador
se aproximam de 0. Isso nos coloca na situação de uma forma indeterminada
, que é perfeita para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas:
. Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas:
- A derivada de
em relação a é . Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral com limite variável é a função integranda avaliada nesse limite. - A derivada de
em relação a é .
Passo 5
Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Passo 6
Vamos calcular esse novo limite substituindo
:
-
-
, então
Portanto:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função
quando
é uma das funções a seguir (
é parte inteira de
)
a) ,
a)
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(b) ,
(b)