Esboce o gráfico da função
quando
é uma das funções a seguir (
é parte inteira de
)
a)
,
a)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que esboçar o gráfico da função
, onde
. Aqui,
representa a parte inteira de
, ou seja, a função parte inteira. O conteúdo envolvido nessa questão é o cálculo de integrais e o entendimento das funções por partes. Para resolver, vamos precisar analisar como a função parte inteira se comporta e como isso afeta a integral definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função parte inteira
. Essa função retorna o maior número inteiro menor ou igual a
. Por exemplo,
,
,
, e assim por diante. Essa função é constante em cada intervalo
, onde
é um número inteiro.
Passo 3
Agora, vamos analisar a integral
. Como
é uma função por partes, podemos calcular a integral em pedaços, onde cada pedaço corresponde a um intervalo
.
Passo 4
Vamos considerar o intervalo de
a partir de 2. Para
,
. Assim, a integral nesse intervalo será:
Passo 5
Para
,
. Então, a integral nesse intervalo será:
Simplificando:
Passo 6
De forma geral, para qualquer inteiro
e
, a função
pode ser expressa como:
Isso porque em cada intervalo
, a integral contribui com
vezes o tamanho do intervalo, que é 1, mais a parte proporcional no último intervalo.
Passo 7
Agora, para esboçar o gráfico de
, observamos que:
- Em cada intervalo
, a função é linear, já que é constante. - A inclinação da reta em cada intervalo é igual ao valor de
nesse intervalo. - Nos pontos
, a função tem uma continuidade, mas a inclinação muda.
Passo 8
Vamos plotar alguns pontos para entender melhor:
- Para
, (pois a integral de 2 a 2 é zero). - Para
, . - Para
, . - E assim por diante, aumentando de forma linear em cada intervalo.
Resposta
O gráfico de
é uma função contínua e por partes, composta por segmentos de retas lineares com inclinações crescentes a cada intervalo inteiro. Em cada intervalo
,
é dada por
. Assim, o esboço apresenta triângulos lineares conectados nos pontos inteiros, aumentando a inclinação com cada inteiro sucessivo.
Exercícios relacionados
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(b) ,
(b)
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
b) uma função tal que
mas
para todo
;
b) uma função
Calcule