Esboce o gráfico da função quando é uma das funções a seguir ( é parte inteira de )
a) ,

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que esboçar o gráfico da função , onde . Aqui, representa a parte inteira de , ou seja, a função parte inteira. O conteúdo envolvido nessa questão é o cálculo de integrais e o entendimento das funções por partes. Para resolver, vamos precisar analisar como a função parte inteira se comporta e como isso afeta a integral definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função parte inteira . Essa função retorna o maior número inteiro menor ou igual a . Por exemplo, , , , e assim por diante. Essa função é constante em cada intervalo , onde é um número inteiro.

Passo 3

Agora, vamos analisar a integral . Como é uma função por partes, podemos calcular a integral em pedaços, onde cada pedaço corresponde a um intervalo .

Passo 4

Vamos considerar o intervalo de a partir de 2. Para , . Assim, a integral nesse intervalo será:

Passo 5

Para , . Então, a integral nesse intervalo será:
Simplificando:

Passo 6

De forma geral, para qualquer inteiro e , a função pode ser expressa como:
Isso porque em cada intervalo , a integral contribui com vezes o tamanho do intervalo, que é 1, mais a parte proporcional no último intervalo.

Passo 7

Agora, para esboçar o gráfico de , observamos que:
  • Em cada intervalo , a função é linear, já que é constante.
  • A inclinação da reta em cada intervalo é igual ao valor de nesse intervalo.
  • Nos pontos , a função tem uma continuidade, mas a inclinação muda.

Passo 8

Vamos plotar alguns pontos para entender melhor:
  • Para , (pois a integral de 2 a 2 é zero).
  • Para , .
  • Para , .
  • E assim por diante, aumentando de forma linear em cada intervalo.

Resposta

O gráfico de é uma função contínua e por partes, composta por segmentos de retas lineares com inclinações crescentes a cada intervalo inteiro. Em cada intervalo , é dada por . Assim, o esboço apresenta triângulos lineares conectados nos pontos inteiros, aumentando a inclinação com cada inteiro sucessivo.

Exercícios relacionados

Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
(b) ,
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
b) uma função tal que mas para todo ;
Calcule