Beleza, vamos lá! Você me deu uma função derivada e um intervalo de . Nosso objetivo aqui é encontrar a função original nesse intervalo. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é o processo inverso da derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função a partir de , precisamos integrar a derivada. Então, temos:
Passo 3
Agora, olhemos para a integral que precisamos resolver:
Aqui, podemos notar que a presença de dentro da tangente sugere que uma substituição seria útil. Vamos realizar uma substituição para simplificar a integral.
Passo 4
Vamos definir uma nova variável da seguinte forma:
Agora, vamos derivar em relação a :
Perceba que . Podemos reorganizar isso para expressar em termos de :
Passo 5
Agora, vamos substituir e na integral original:
Simplificando os sinais negativos:
Passo 6
Essa nova integral ainda parece complicada, mas podemos usar integração por partes para resolvê-la. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Calculando e :
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Essa nova integral ainda é complexa e pode exigir métodos avançados ou tabelas de integrais. Porém, para simplificar, vamos considerar que ela pode ser expressa em termos de funções elementares ou que representa uma solução mais elaborada que excede o escopo atual.
Passo 8
Considerando a complexidade da integral, podemos concluir que a função é definida em termos dessa integral: