Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
(b) ,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a integral e precisamos verificar se podemos aplicar o Teorema da Média Integral para funções contínuas. Se sim, devemos encontrar um ponto específico que satisfaça o teorema. Vamos precisar saber sobre integrais, funções contínuas e o próprio teorema da média integral.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Média Integral, precisamos que a função seja contínua no intervalo considerado. A função é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todos os lugares. Portanto, é contínua no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que diz o Teorema da Média Integral. Ele afirma que se uma função é contínua em , então existe pelo menos um ponto em tal que:
No nosso caso, , e . Vamos aplicar esse teorema para encontrar .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a integral . A antiderivada de é , então avaliamos entre os limites:

Passo 5

Segundo o Teorema da Média Integral, temos:
Agora, resolvemos para :

Resposta

O ponto que satisfaz o Teorema da Média Integral é .

Exercícios relacionados

Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
b) uma função tal que mas para todo ;
,
Esboce o gráfico da função quando é uma das funções a seguir ( é parte inteira de )
a) ,
Calcule