Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de u ).
(b) integral-2^3 x^2 d x,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a integral integral-2^3 x^2 dx e precisamos verificar se podemos aplicar o Teorema da Média Integral para funções contínuas. Se sim, devemos encontrar um ponto específico que satisfaça o teorema. Vamos precisar saber sobre integrais, funções contínuas e o próprio teorema da média integral.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Média Integral, precisamos que a função seja contínua no intervalo considerado. A função f(x) = x^2 é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todos os lugares. Portanto, f(x) = x^2 é contínua no intervalo [-2, 3].

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que diz o Teorema da Média Integral. Ele afirma que se uma função f é contínua em [a, b], então existe pelo menos um ponto c em [a, b] tal que:
integrala^b f(x) dx = f(c) cdot (b - a)
No nosso caso, a = -2, b = 3 e f(x) = x^2. Vamos aplicar esse teorema para encontrar c.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a integral integral-2^3 x^2 dx. A antiderivada de x^2 é x^33, então avaliamos entre os limites:
integral-2^3 x^2 dx = [x^33]-2^3 = 3^33 - (-2)^33 = 273 - -83 = 9 + 83 = 353

Passo 5

Segundo o Teorema da Média Integral, temos:
integral-2^3 x^2 dx = f(c) cdot (3 - (-2)) Rightarrow 353 = c^2 cdot 5
Agora, resolvemos para c:
c^2 = 353 cdot 5 = 3515 = 73 Rightarrow c = raiz73

Resposta

O ponto que satisfaz o Teorema da Média Integral é c = raizdfrac73.

Exercícios relacionados