Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
, com
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Limites, envolvendo funções trigonométricas e álgebra. Para resolver, vamos precisar simplificar as expressões e entender como a tangente se comporta perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Podemos fatorar isso usando a identidade da diferença de quadrados:
Então, nosso limite fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração. Observe que temos
no denominador e dentro da tangente no numerador. Sabemos que quando
se aproxima de
,
se aproxima de
. E para valores muito pequenos de
, a tangente pode ser aproximada por
(ou seja,
quando
). Então, podemos aproximar:
Substituindo isso, temos:
Passo 4
Agora que simplificamos a expressão para
, podemos calcular o limite facilmente substituindo
por
:
Resposta
O limite é
.