Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: , com . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Limites, envolvendo funções trigonométricas e álgebra. Para resolver, vamos precisar simplificar as expressões e entender como a tangente se comporta perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador . Podemos fatorar isso usando a identidade da diferença de quadrados:
Então, nosso limite fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração. Observe que temos no denominador e dentro da tangente no numerador. Sabemos que quando se aproxima de , se aproxima de . E para valores muito pequenos de , a tangente pode ser aproximada por (ou seja, quando ). Então, podemos aproximar:
Substituindo isso, temos:

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão para , podemos calcular o limite facilmente substituindo por :

Resposta

O limite é .

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