Calcule. lim x p tg(x-p)x^2-p^2, p neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x p tg(x-p)x^2-p^2, com p neq 0. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Limites, envolvendo funções trigonométricas e álgebra. Para resolver, vamos precisar simplificar as expressões e entender como a tangente se comporta perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^2 - p^2. Podemos fatorar isso usando a identidade da diferença de quadrados:
x^2 - p^2 = (x - p)(x + p)
Então, nosso limite fica:
lim x p tg(x-p)(x - p)(x + p)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração. Observe que temos (x - p) no denominador e dentro da tangente no numerador. Sabemos que quando x se aproxima de p, (x - p) se aproxima de 0. E para valores muito pequenos de y, a tangente pode ser aproximada por y (ou seja, tg(y) approx y quando y to 0). Então, podemos aproximar:
tg(x - p) approx (x - p)
Substituindo isso, temos:
tg(x-p)(x - p)(x + p) approx (x - p)(x - p)(x + p) = 1x + p

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão para 1x + p, podemos calcular o limite facilmente substituindo x por p:
lim x p 1x + p = 1p + p = 12p

Resposta

O limite é 12p.

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