Calcule. lim x 0 x-tg xx+tg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 x-tg xx+tg x. Aqui, estamos lidando com um limite envolvendo funções trigonométricas, especificamente a tangente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como a tangente se comporta perto de zero, o que envolve um pouco de cálculo e séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que tg x é o mesmo que tan x, que é sin xcos x. Assim, podemos reescrever o limite como:
lim x 0 x - sin xcos xx + sin xcos x

Passo 3

Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador por cos x para eliminar as frações dentro das frações:
lim x 0 (x - sin xcos x) cdot cos x(x + sin xcos x) cdot cos x = lim x 0 x cos x - sin xx cos x + sin x

Passo 4

Agora, vamos lembrar das expansões de Taylor para sin x e cos x perto de zero:
  • sin x approx x - x^36
  • cos x approx 1 - x^22
Vamos substituir essas aproximações na nossa expressão:
x (1 - x^22) - (x - x^36)x (1 - x^22) + (x - x^36)

Passo 5

Simplificando o numerador e o denominador:
  • Numerador:
x - x^32 - x + x^36 = -x^32 + x^36 = -x^33
  • Denominador:
x - x^32 + x - x^36 = 2x - 2x^33
Então, nossa expressão fica:
lim x 0 -x^332x - 2x^33 = lim x 0 -x^33(2x - 2x^33)

Passo 6

Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por x:
lim x 0 -x^23(2 - 2x^23)
À medida que x se aproxima de 0, os termos com x^2 no numerador e denominador tendem a 0, então ficamos com:
03 cdot 2 = 0

Resposta

O limite é 0.

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