Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com um limite envolvendo funções trigonométricas, especificamente a tangente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como a tangente se comporta perto de zero, o que envolve um pouco de cálculo e séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que é o mesmo que , que é . Assim, podemos reescrever o limite como:

Passo 3

Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador por para eliminar as frações dentro das frações:

Passo 4

Agora, vamos lembrar das expansões de Taylor para e perto de zero:
Vamos substituir essas aproximações na nossa expressão:

Passo 5

Simplificando o numerador e o denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Então, nossa expressão fica:

Passo 6

Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por :
À medida que se aproxima de 0, os termos com no numerador e denominador tendem a 0, então ficamos com:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Calcule.
Interferência de onda: Considere duas ondas harmônicas:
e . Aplicando o princípio da superposição, encontre a onda resultante do processo de interferência. Para quais valores de tem-se interferência totalmente construtiva e totalmente destrutiva, respectivamente?
O fluxo elétrico que passa por uma superfície de área fixa é máximo quando a superfícieé paralela ao campo elétricofaz um ângulo de radianos com o campo elétricoé fechada, mas não contém a cargas.é perpendicular ao campo elétricoé antiparalela ao campo elétrico
Nos problemas seguintes, determine a ordem da equação diferencial e decida se a equação é linear ou não-linear.