Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos lidando com um limite envolvendo funções trigonométricas, especificamente a tangente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como a tangente se comporta perto de zero, o que envolve um pouco de cálculo e séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que
é o mesmo que
, que é
. Assim, podemos reescrever o limite como:
Passo 3
Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador por
para eliminar as frações dentro das frações:
Passo 4
Agora, vamos lembrar das expansões de Taylor para
e
perto de zero:
Vamos substituir essas aproximações na nossa expressão:
Passo 5
Simplificando o numerador e o denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Então, nossa expressão fica:
Passo 6
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
À medida que
se aproxima de 0, os termos com
no numerador e denominador tendem a 0, então ficamos com:
Resposta
O limite é
.
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