Calcule: lim x 0 sin (2 x)e^3 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao conceito de limites em Cálculo, e para resolvê-lo, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra é útil quando encontramos uma forma indeterminada como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0.
  • O numerador: . Sabemos que , então .
  • O denominador: . Sabemos que , então .
Portanto, ao substituir , obtemos a forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos aplicar isso ao nosso caso.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a derivada do numerador f'(x) = ddx sin(2x) = 2 cos(2x) :
g'(x) = ddx (e^3x - 1) = 3 e^3x
Em seguida, a derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
limx 0 sin(2x)e^3x-1 = limx 0 2 cos(2x)3 e^3x

Passo 6

Vamos calcular o limite agora substituindo limx 0 2 cos(2x)3 e^3x = 2 times 13 times 1 = 23 :
Portanto:

Resposta

O limite é .

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2,0 Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = 2*x*y^2 no ponto (0, 1, f(0, 1)).
Nos itens abaixo, determine partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=(x^3+(y / 2)^2 / 3)
Calcule os seguintes limites: lim x -infty (x^9+3)^5(1-x^3)^15
Calcule os limites, caso existam.
lim x +infty[x-raiz2 x^2+1]