Calcule os limites, caso existam.
lim x +infty[x-raiz2 x^2+1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende a mais infinito da expressão . Estamos lidando com limites de funções que envolvem raízes quadradas e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para entender o comportamento dela quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz: raiz2x^2 + 1 = raizx^2 (2 + 1x^2) = x raiz2 + 1x^2 . Quando cresce para infinito, o termo domina o , então podemos simplificar a raiz para facilitar os cálculos. Vamos fatorar de dentro da raiz:
Aqui, tiramos de dentro da raiz, lembrando que é positivo já que está tendendo a .

Passo 3

Agora, substituímos de volta na expressão original:
x - raiz2x^2 + 1 = x - x raiz2 + 1x^2 = x (1 - raiz2 + 1x^2)
Vamos analisar o que acontece dentro dos parênteses quando raiz2 + 1x^2 approx raiz2 quando x to +infty tende a infinito. O termo x (1 - raiz2) vai para zero, então:
Substituindo de volta:
Como é um número negativo e está indo para , o produto vai para .

Resposta

O limite é .

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Calcule os limites, caso existam.
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