Calcule.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Aqui, queremos calcular um limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. O conteúdo que estamos abordando aqui é o cálculo de limites, especificamente com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as definições de
e
, além de limites que envolvem essas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a tangente e o seno têm comportamentos que podemos usar perto do zero. A tangente pode ser expressa como
. Então, podemos reescrever a tangente na nossa expressão:
Assim, nossa expressão inicial se torna:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de 0. Sabemos que:
-
quando está perto de 0. -
quando está perto de 0.
Portanto, podemos fazer as seguintes aproximações:
Assim, nossa expressão agora fica:
Passo 4
Agora, substituindo as aproximações que fizemos:
Aqui,
corta com
, e ficamos com:
Resposta
Assim, o limite que queremos calcular é: