Calcule. lim x 0 tg 3 xsen 4 x

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Aqui, queremos calcular um limite quando x se aproxima de 0 da expressão tg 3 xsen 4 x. O conteúdo que estamos abordando aqui é o cálculo de limites, especificamente com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as definições de tg(x) e sen(x), além de limites que envolvem essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente e o seno têm comportamentos que podemos usar perto do zero. A tangente pode ser expressa como tg(x) = sen(x)cos(x). Então, podemos reescrever a tangente na nossa expressão:
tg(3x) = sen(3x)cos(3x)
Assim, nossa expressão inicial se torna:
tg(3 x)sen(4 x) = sen(3x)cos(3x)sen(4x) = sen(3x)cos(3x) cdot sen(4x)

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando x se aproxima de 0. Sabemos que:
  • sen(x) approx x quando x está perto de 0.
  • cos(x) approx 1 quando x está perto de 0.
Portanto, podemos fazer as seguintes aproximações:
sen(3x) approx 3x e sen(4x) approx 4x
Assim, nossa expressão agora fica:
3xcos(3x) cdot 4x

Passo 4

Agora, substituindo as aproximações que fizemos:
3x1 cdot 4x
Aqui, x corta com x, e ficamos com:
34

Resposta

Assim, o limite que queremos calcular é:
lim x 0 tg 3 xsen 4 x = 34

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