Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
L. Calcule
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos uma função
que está definida em todos os números reais (
) e um número real
. O enunciado nos dá uma informação sobre a derivada de
em
, que é que
. O que precisamos fazer é calcular o limite
. Esse problema envolve conceitos de limites e derivadas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada e fazer algumas substituições.
Passo 2
A expressão que estamos analisando,
, pode parecer um pouco complicada à primeira vista, mas vamos transformá-la.
Note que podemos reescrever
substituindo
. Se
, então
também. Isso significa que quando
vai para 0,
vai para
. Assim, podemos expressar a nossa limitação em termos de
, ou seja,
.
Substituindo isso na nossa expressão, fica assim:
Agora podemos simplificar isso:
Passo 3
Nesse ponto, sabemos que a expressão
é a definição da derivada de
em
, que conforme o enunciado, é igual a
. Então, podemos substituir isso na nossa equação:
Resposta
Portanto, a resposta é
.
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Seja
definida
. Suponha que
. Calcule
Calcule.
Calcule.
Calcule.