Seja f definida em R e seja p um real dado. Suponha que lim x p f(x)-f(p)x-p= L. Calcule lim h 0 f(p+3 h)-f(p)h

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma função f que está definida em todos os números reais ( R) e um número real p. O enunciado nos dá uma informação sobre a derivada de f em p, que é que limx p f(x)-f(p)x-p = L. O que precisamos fazer é calcular o limite limh 0 f(p+3h)-f(p)h. Esse problema envolve conceitos de limites e derivadas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada e fazer algumas substituições.

Passo 2

A expressão que estamos analisando, limh 0 f(p+3h)-f(p)h, pode parecer um pouco complicada à primeira vista, mas vamos transformá-la.
Note que podemos reescrever f(p+3h) substituindo x = p + 3h. Se h 0, então 3h 0 também. Isso significa que quando h vai para 0, p + 3h vai para p. Assim, podemos expressar a nossa limitação em termos de k = 3h, ou seja, h = k3.
Substituindo isso na nossa expressão, fica assim:
limh 0 f(p + 3h) - f(p)h = limk 0 f(p + k) - f(p)k3
Agora podemos simplificar isso:
= limk 0 3 cdot f(p + k) - f(p)k

Passo 3

Nesse ponto, sabemos que a expressão limk 0 f(p + k) - f(p)k é a definição da derivada de f em p, que conforme o enunciado, é igual a L. Então, podemos substituir isso na nossa equação:
= 3 cdot L

Resposta

Portanto, a resposta é limh 0 f(p + 3h) - f(p)h = 3L.

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