Seja definida em e seja um real dado. Suponha que L. Calcule

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma função que está definida em todos os números reais ( ) e um número real . O enunciado nos dá uma informação sobre a derivada de em , que é que . O que precisamos fazer é calcular o limite . Esse problema envolve conceitos de limites e derivadas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada e fazer algumas substituições.

Passo 2

A expressão que estamos analisando, , pode parecer um pouco complicada à primeira vista, mas vamos transformá-la.
Note que podemos reescrever substituindo . Se , então também. Isso significa que quando vai para 0, vai para . Assim, podemos expressar a nossa limitação em termos de , ou seja, .
Substituindo isso na nossa expressão, fica assim:
Agora podemos simplificar isso:

Passo 3

Nesse ponto, sabemos que a expressão é a definição da derivada de em , que conforme o enunciado, é igual a . Então, podemos substituir isso na nossa equação:

Resposta

Portanto, a resposta é .

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