Seja f definida R. Suponha que lim x 0 f(x)x=1. Calcule lim x 1 f(x^2-1)x-1

Passo 1

Vamos resumir o que está acontecendo aqui. O exercício nos dá uma informação sobre a função f: ele diz que lim x 0 f(x)x=1. Isso significa que, quando x se aproxima de 0, a razão entre f(x) e x se aproxima de 1. Assim, f(x) se comporta como x quando x está perto de 0. O que queremos descobrir é o limite lim x 1 f(x^2-1)x-1. Para resolver isso, vamos usar um truque que envolve substituições e a informação do limite dado.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar nossa expressão. Note que x^2 - 1 pode ser escrito como (x - 1)(x + 1). Quando x se aproxima de 1, o termo x - 1 se aproxima de 0, que é um baita sinal para a gente! Vamos definir uma nova variável:
Seja u = x - 1. Assim, quando x se aproxima de 1, u se aproxima de 0.
Com isso, podemos reescrever nosso limite da seguinte forma:
  • Quando x = 1 + u, temos que x^2 - 1 = (1 + u)^2 - 1 = 1 + 2u + u^2 - 1 = 2u + u^2.
  • Portanto, nosso limite se torna:
limu 0 f(2u + u^2)u

Passo 3

Agora, precisamos lidar com o limite f(2u + u^2)u quando u 0. Como o termo 2u + u^2 também se aproxima de 0 quando u se aproxima de 0, podemos usar a informação que temos sobre f. Sabemos que:
limx 0 f(x)x = 1
Isso indica que, quando x está muito perto de 0, f(x) é aproximadamente igual a x. Logo, podemos fazer a seguinte aproximação:
f(2u + u^2) approx 2u + u^2
para valores pequenos de u.
Substituímos isso na nossa expressão:
limu 0 2u + u^2u

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa nova fração:
2u + u^2u = u(2 + u)u = 2 + u
Quando u se aproxima de 0, o termo u também se aproxima de 0. Assim, temos:
limu 0 (2 + u) = 2 + 0 = 2

Resposta

Portanto, o valor do limite é 2.

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