Seja definida . Suponha que . Calcule

Passo 1

Vamos resumir o que está acontecendo aqui. O exercício nos dá uma informação sobre a função : ele diz que . Isso significa que, quando se aproxima de 0, a razão entre e se aproxima de 1. Assim, se comporta como quando está perto de 0. O que queremos descobrir é o limite . Para resolver isso, vamos usar um truque que envolve substituições e a informação do limite dado.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar nossa expressão. Note que pode ser escrito como . Quando se aproxima de 1, o termo se aproxima de 0, que é um baita sinal para a gente! Vamos definir uma nova variável:
Seja . Assim, quando se aproxima de 1, se aproxima de 0.
Com isso, podemos reescrever nosso limite da seguinte forma:
  • Quando , temos que .
  • Portanto, nosso limite se torna:

Passo 3

Agora, precisamos lidar com o limite quando . Como o termo também se aproxima de 0 quando se aproxima de 0, podemos usar a informação que temos sobre . Sabemos que:

Isso indica que, quando está muito perto de 0, é aproximadamente igual a . Logo, podemos fazer a seguinte aproximação:
para valores pequenos de .
Substituímos isso na nossa expressão:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa nova fração:

Quando se aproxima de 0, o termo também se aproxima de 0. Assim, temos:

Resposta

Portanto, o valor do limite é 2.

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Calcule.
Um carro de 975 kg tem os pneus cheios a . (a) Se os pneus fossem perfeitamente redondos, a pressão dos pneus poderia exercer alguma força sobre o pavimento? (suponha que as paredes dos pneus sejam flexíveis para que a pressão exercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual à pressão do ar existente no interior do pneu.);
Seja definida em e seja um real dado. Suponha que L. Calcule
Calcule.