Seja
definida
. Suponha que
. Calcule
Passo 1
Vamos resumir o que está acontecendo aqui. O exercício nos dá uma informação sobre a função
: ele diz que
. Isso significa que, quando
se aproxima de 0, a razão entre
e
se aproxima de 1. Assim,
se comporta como
quando
está perto de 0. O que queremos descobrir é o limite
. Para resolver isso, vamos usar um truque que envolve substituições e a informação do limite dado.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar nossa expressão. Note que
pode ser escrito como
. Quando
se aproxima de 1, o termo
se aproxima de 0, que é um baita sinal para a gente! Vamos definir uma nova variável:
Seja . Assim, quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0.
Seja
Com isso, podemos reescrever nosso limite da seguinte forma:
- Quando
, temos que . - Portanto, nosso limite se torna:
Passo 3
Agora, precisamos lidar com o limite
quando
. Como o termo
também se aproxima de 0 quando
se aproxima de 0, podemos usar a informação que temos sobre
. Sabemos que:
Isso indica que, quando
para valores pequenos de
.
Substituímos isso na nossa expressão:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa nova fração:
Quando
Resposta
Portanto, o valor do limite é 2.
Exercícios relacionados
Calcule.
Um carro de 975 kg tem os pneus cheios a
. (a) Se os pneus fossem perfeitamente redondos, a pressão dos pneus poderia exercer alguma força sobre o pavimento? (suponha que as paredes dos pneus sejam flexíveis para que a pressão exercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual à pressão do ar existente no interior do pneu.);
Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
L. Calcule
Calcule.