Considere um fio de comprimento L uniformemente carregado com carga total Q. Encontre o campoelétrico em um ponto localizado no eixo do fio e a uma distância d do mesmo. Ou seja, considerando o fio posicionado no eixo x com uma extremidade na origem, obtenha o campo elétrico num ponto x+d.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um fio com comprimento L que está carregado de forma uniforme com uma carga total Q. A tarefa é descobrir qual é o campo elétrico em um ponto que está no eixo do fio, mas a uma distância d do final dele. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição linear de carga e usar um pouco de cálculo para somar as contribuições de cada pedacinho do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade linear de carga, que é a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio. A gente chama isso de lambda e calcula assim:
lambda = QL
Isso significa que cada pedacinho do fio com comprimento dx tem uma carga dQ igual a lambda dx.

Passo 3

Agora, imaginamos um pedacinho infinitesimal do fio, localizado em uma posição x ao longo do fio (onde x varia de 0 a L). A distância desse pedacinho até o ponto onde queremos calcular o campo elétrico é s = L + d - x.

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse pedacinho de carga dQ no ponto de interesse é dado pela lei de Coulomb:
dE = 14 pi varepsilon0 cdot dQs^2
Substituindo dQ por lambda dx e s = L + d - x, temos:
dE = 14 pi varepsilon0 cdot lambda dx(L + d - x)^2

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico total no ponto, precisamos somar (integrar) todas as contribuições de cada pedacinho do fio. Então, integramos dE de x=0 até x=L:
E = lambda4 pi varepsilon0 integral0^L dx(L + d - x)^2

Passo 6

Vamos simplificar a integral. Fazemos uma substituição para facilitar:
u = L + d - x Rightarrow du = -dx
Quando x = 0, u = L + d.
Quando x = L, u = d.
Substituindo na integral:
E = lambda4 pi varepsilon0 integralL + d^d -duu^2 = lambda4 pi varepsilon0 integrald^L + d duu^2

Passo 7

Agora, integramos 1u^2:
integral duu^2 = -1u
Aplicando os limites de integração:
E = lambda4 pi varepsilon0 ( -1L + d + 1d ) = lambda4 pi varepsilon0 ( 1d - 1L + d )

Passo 8

Lembrando que lambda = QL, substituímos na equação:
E = Q4 pi varepsilon0 L ( 1d - 1L + d )

Resposta

O campo elétrico no ponto localizado no eixo do fio a uma distância d do mesmo é dado por:
E = Q4 pi varepsilon0 L ( 1d - 1L + d )

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