Considere um fio de comprimento uniformemente carregado com carga total . Encontre o campoelétrico em um ponto localizado no eixo do fio e a uma distância do mesmo. Ou seja, considerando o fio posicionado no eixo com uma extremidade na origem, obtenha o campo elétrico num ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um fio com comprimento que está carregado de forma uniforme com uma carga total . A tarefa é descobrir qual é o campo elétrico em um ponto que está no eixo do fio, mas a uma distância do final dele. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição linear de carga e usar um pouco de cálculo para somar as contribuições de cada pedacinho do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade linear de carga, que é a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio. A gente chama isso de e calcula assim:
Isso significa que cada pedacinho do fio com comprimento tem uma carga igual a .

Passo 3

Agora, imaginamos um pedacinho infinitesimal do fio, localizado em uma posição ao longo do fio (onde varia de a ). A distância desse pedacinho até o ponto onde queremos calcular o campo elétrico é .

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse pedacinho de carga no ponto de interesse é dado pela lei de Coulomb:
Substituindo por e , temos:

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico total no ponto, precisamos somar (integrar) todas as contribuições de cada pedacinho do fio. Então, integramos de até :

Passo 6

Vamos simplificar a integral. Fazemos uma substituição para facilitar:
Quando , .
Quando , .
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, integramos :
Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Lembrando que , substituímos na equação:

Resposta

O campo elétrico no ponto localizado no eixo do fio a uma distância do mesmo é dado por:

Exercícios relacionados

Considere um sistema contendo duas cargas uma com e outra com localizadas .
© Desenhe as linhas de campo elétrico.
Considere um sistema contendo duas cargas uma com e outra com localizadas .
(b) Calcule o campo elétrico em um ponto qualquer sobre eixo .
Um carro de 975 kg tem os pneus cheios a . (a) Se os pneus fossem perfeitamente redondos, a pressão dos pneus poderia exercer alguma força sobre o pavimento? (suponha que as paredes dos pneus sejam flexíveis para que a pressão exercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual à pressão do ar existente no interior do pneu.);
Calcule.