Considere um fio de comprimento
uniformemente carregado com carga total
. Encontre o campoelétrico em um ponto localizado no eixo do fio e a uma distância
do mesmo. Ou seja, considerando o fio posicionado no eixo
com uma extremidade na origem, obtenha o campo elétrico num ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um fio com comprimento
que está carregado de forma uniforme com uma carga total
. A tarefa é descobrir qual é o campo elétrico em um ponto que está no eixo do fio, mas a uma distância
do final dele. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição linear de carga e usar um pouco de cálculo para somar as contribuições de cada pedacinho do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a densidade linear de carga, que é a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio. A gente chama isso de
e calcula assim:
Isso significa que cada pedacinho do fio com comprimento
tem uma carga
igual a
.
Passo 3
Agora, imaginamos um pedacinho infinitesimal do fio, localizado em uma posição
ao longo do fio (onde
varia de
a
). A distância desse pedacinho até o ponto onde queremos calcular o campo elétrico é
.
Passo 4
O campo elétrico gerado por esse pedacinho de carga
no ponto de interesse é dado pela lei de Coulomb:
Substituindo
por
e
, temos:
Passo 5
Para encontrar o campo elétrico total no ponto, precisamos somar (integrar) todas as contribuições de cada pedacinho do fio. Então, integramos
de
até
:
Passo 6
Vamos simplificar a integral. Fazemos uma substituição para facilitar:
Quando
,
.
Quando ,
.
Quando
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, integramos
:
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos na equação:
Resposta
O campo elétrico no ponto localizado no eixo do fio a uma distância
do mesmo é dado por: