Calcule lim (x, y) (0,0) y^2 x^2y^4+x^4

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis, especificamente:
lim (x, y) (0,0) y^2 x^2y^4+x^4
Isso envolve conceitos de limites em cálculo multivariável. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta quando e se aproximam de zero. Vamos precisar verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar caminhos diferentes para ver se o limite depende da direção. Vamos começar com o caminho onde y^2 cdot 0^2y^4 + 0^4 = 0y^4 = 0 . Substituindo na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo, x^2 cdot x^2x^4 + x^4 = x^42x^4 = 12 . Substituindo na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de pela linha , o limite é .

Passo 4

Observamos que os limites são diferentes dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de . Se o limite existisse, ele deveria ser o mesmo para todos os caminhos. Como encontramos valores diferentes (0 e ), podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque depende do caminho de aproximação.

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En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
f(x, y) = x^4 + y^4 - 4 x^2 y^2
Sea f(x, y)=(cclx^3+x y^2+x^2+yx^2+y^2 & si & (x, y) neq(0,0) 1 & si & (x, y)=(0,0). Hallar fx(0,0) y fy(0,0)
Obtenha o maior subconjunto do R^2 ou R^3, no qual a função f(x, y) = x^3 + y^2 + x * y é contínua
Obtenha o maior subconjunto do R^2 ou R^3, no qual a função f(x, y, z) = raiz(2 - x^2 - y^2 - z^2) é contínua