Sea f(x, y)=(cclx^3+x y^2+x^2+yx^2+y^2 & si & (x, y) neq(0,0) 1 & si & (x, y)=(0,0). Hallar fx(0,0) y fy(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, , que tem uma definição diferente quando é igual a e quando é diferente. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e no ponto . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a definição de derivada parcial e calcular alguns limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em relação a no ponto , que é denotada por . A derivada parcial em relação a mede como a função muda quando varia, mantendo constante.
A fórmula para a derivada parcial em relação a no ponto é:
Vamos calcular esse limite. Sabemos que .

Passo 3

Agora, substituímos f(h, 0) = h^3 + h cdot 0^2 + h^2 + 0h^2 + 0^2 = h^3 + h^2h^2 = h^2(h + 1)h^2 = h + 1 na expressão. Para fx(0,0) = limh to 0 (h + 1) - 1h = limh to 0 hh = limh to 0 1 = 1 e , a função fica:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k em relação a no ponto , denotada por . A derivada parcial em relação a mostra como a função muda quando varia, mantendo constante.
A fórmula para a derivada parcial em relação a no ponto é:
Vamos calcular esse limite. Sabemos que .

Passo 5

Substituímos f(0, k) = 0^3 + 0 cdot k^2 + 0^2 + k0^2 + k^2 = kk^2 = 1k na expressão. Para fy(0,0) = limk to 0 1k - 1k = limk to 0 1 - kk^2 e , a função fica:
Então, temos:

Passo 6

Agora, analisando o limite , vemos que conforme se aproxima de 0, o denominador tende a 0 e o numerador tende a 1. Isso significa que o limite tende ao infinito, ou seja, não existe um valor finito para .

Resposta

fx(0,0) = 1 e fy(0,0) não existe ã

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