Sea
. Hallar
y
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
, que tem uma definição diferente quando
é igual a
e quando é diferente. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e
no ponto
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a definição de derivada parcial e calcular alguns limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, que é denotada por
. A derivada parcial em relação a
mede como a função muda quando
varia, mantendo
constante.
A fórmula para a derivada parcial em relação a
no ponto
é:
Vamos calcular esse limite. Sabemos que
.
Passo 3
Agora, substituímos
na expressão. Para
e
, a função fica:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, denotada por
. A derivada parcial em relação a
mostra como a função muda quando
varia, mantendo
constante.
A fórmula para a derivada parcial em relação a
no ponto
é:
Vamos calcular esse limite. Sabemos que
.
Passo 5
Substituímos
na expressão. Para
e
, a função fica:
Então, temos:
Passo 6
Agora, analisando o limite
, vemos que conforme
se aproxima de 0, o denominador
tende a 0 e o numerador tende a 1. Isso significa que o limite tende ao infinito, ou seja, não existe um valor finito para
.
Resposta
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Calcule
Hallar las derivadas parciales segundas de:
En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
Calcule