Calcule o limite de cada sequência de funções, em seguida classifique o tipo de convergência (simples ou uniforme):
f_n:(0,1) -> R, f_n(x) = n * x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite da sequência de funções no intervalo . Depois disso, precisamos classificar como essa convergência acontece: se é simples (ponto a ponto) ou uniforme. Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções e os conceitos de convergência simples e uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite de quando tende ao infinito para cada no intervalo .
Sabemos que para , tende a 0 quando cresce. Mas temos o termo multiplicando , então precisamos ver qual dos dois termos domina.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de para fixo em . Podemos reescrever como . Então:
Como é negativo para , tende a à medida que aumenta, fazendo tender a 0.

Passo 4

Apesar de crescer, a expressão tende a 0 mais rápido do que aumenta. Portanto, o produto também tende a 0.

Passo 5

Concluímos que para todo em :
Isso significa que a sequência de funções converge pontualmente para a função .

Passo 6

Agora, vamos verificar o tipo de convergência. A convergência é simples (ou ponto a ponto) se o limite ocorre para cada individualmente. Já a convergência é uniforme se o limite ocorre de forma uniforme em todo o domínio.
Para verificar a convergência uniforme, precisamos ver se:

Passo 7

Calculando o supremo de em :
Para encontrar o máximo de , derivamos em relação a :
Igualando a derivada a zero, vemos que o máximo ocorre quando . Substituindo:
À medida que cresce, tende a 0 mais rápido que cresce, então o supremo também tende a 0.

Resposta

O limite da sequência de funções no intervalo é a função zero. Além disso, a convergência é uniforme.

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