Calcule o limite de cada sequência de funções, em seguida classifique o tipo de convergência (simples ou uniforme):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite da sequência de funções
no intervalo
. Depois disso, precisamos classificar como essa convergência acontece: se é simples (ponto a ponto) ou uniforme. Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções e os conceitos de convergência simples e uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito para cada
no intervalo
.
Sabemos que para
,
tende a 0 quando
cresce. Mas temos o termo
multiplicando
, então precisamos ver qual dos dois termos domina.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de
para
fixo em
. Podemos reescrever
como
. Então:
Como
é negativo para
,
tende a
à medida que
aumenta, fazendo
tender a 0.
Passo 4
Apesar de
crescer, a expressão
tende a 0 mais rápido do que
aumenta. Portanto, o produto
também tende a 0.
Passo 5
Concluímos que para todo
em
:
Isso significa que a sequência de funções
converge pontualmente para a função
.
Passo 6
Agora, vamos verificar o tipo de convergência. A convergência é simples (ou ponto a ponto) se o limite ocorre para cada
individualmente. Já a convergência é uniforme se o limite ocorre de forma uniforme em todo o domínio.
Para verificar a convergência uniforme, precisamos ver se:
Passo 7
Calculando o supremo de
em
:
Para encontrar o máximo de
, derivamos em relação a
:
Igualando a derivada a zero, vemos que o máximo ocorre quando
. Substituindo:
À medida que
cresce,
tende a 0 mais rápido que
cresce, então o supremo também tende a 0.
Resposta
O limite da sequência de funções
no intervalo
é a função zero. Além disso, a convergência é uniforme.