Justifique a igualdade
integral0^1 f(x) d x=sumn=0^+infty 1(n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para justificar que a integral de uma função integral0^1 f(x) , dx = sumn=0^+infty 1(n+1)! de 0 a 1 é igual a uma soma infinita específica. Ou seja:
Aqui, vamos precisar entender sobre séries de potências e integrais, além de saber como trocar a ordem de soma e integral quando a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função e^x = sumn=0^infty x^nn! como uma série de potências. Uma função comum que pode ser representada dessa forma é a exponencial f(x) = sumn=0^infty x^nn! . Sabemos que:
Então, vamos supor que . Assim, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral0^1 f(x) , dx = integral0^1 ( sumn=0^infty x^nn! ) dx de 0 a 1. Substituindo a série na integral, temos:

Passo 4

Para facilitar, vamos trocar a ordem da soma e da integral. Isso é válido se a série converge de forma uniforme no intervalo de integração, o que é o caso para integral0^1 ( sumn=0^infty x^nn! ) dx = sumn=0^infty integral0^1 x^nn! , dx em [0,1]. Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de cada termo da série:
integral0^1 x^nn! , dx = 1n! integral0^1 x^n , dx
A integral de integral0^1 x^n , dx = 1n+1 de 0 a 1 é:
1n! cdot 1n+1 = 1(n+1)!
Então,

Passo 6

Substituindo de volta na soma, temos:
sumn=0^infty 1(n+1)!
Isso significa que:
integral0^1 f(x) , dx = sumn=0^infty 1(n+1)!

Resposta

Portanto, justificamos que:
integral0^1 f(x) , dx = sumn=0^+infty 1(n+1)!

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