Justifique a igualdade

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para justificar que a integral de uma função de 0 a 1 é igual a uma soma infinita específica. Ou seja:
Aqui, vamos precisar entender sobre séries de potências e integrais, além de saber como trocar a ordem de soma e integral quando a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função como uma série de potências. Uma função comum que pode ser representada dessa forma é a exponencial . Sabemos que:
Então, vamos supor que . Assim, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos integrar de 0 a 1. Substituindo a série na integral, temos:

Passo 4

Para facilitar, vamos trocar a ordem da soma e da integral. Isso é válido se a série converge de forma uniforme no intervalo de integração, o que é o caso para em [0,1]. Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de cada termo da série:
A integral de de 0 a 1 é:
Então,

Passo 6

Substituindo de volta na soma, temos:
Isso significa que:

Resposta

Portanto, justificamos que:

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Vamos supor que: (1) o nível de equilíbrio da renda seja atualmente $ 1000, (2) a propensão marginal a consumir seja 0,70 e (3) o consumo seja uma função da renda disponível com defasagem de um período ( um período é igual a três meses): Qual é a variação final no nível de equilíbrio da renda ?
Suponha um mundo com dois países: Brasil e Estados Unidos. Suponha ainda que para a economia brasileira o nível de consumo seja dado por , as receitas tributárias por , as importações por . Os investimentos são iguais a , os gastos do governo alcançam o montante de e as transferências governamentais às famílias são iguais a $10. As exportações são uma função Ya, onde Ya representa a renda dos Estados Unidos: Se a renda dos Estados Unidos passar para $ 1500, qual o novo nível de renda do Brasil?
converge uniformemente a em ? Justifique.