Justifique a igualdade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para justificar que a integral de uma função
de 0 a 1 é igual a uma soma infinita específica. Ou seja:
Aqui, vamos precisar entender sobre séries de potências e integrais, além de saber como trocar a ordem de soma e integral quando a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a função
como uma série de potências. Uma função comum que pode ser representada dessa forma é a exponencial
. Sabemos que:
Então, vamos supor que
. Assim, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos integrar
de 0 a 1. Substituindo a série na integral, temos:
Passo 4
Para facilitar, vamos trocar a ordem da soma e da integral. Isso é válido se a série converge de forma uniforme no intervalo de integração, o que é o caso para
em [0,1]. Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de cada termo da série:
A integral de
de 0 a 1 é:
Então,
Passo 6
Substituindo de volta na soma, temos:
Isso significa que:
Resposta
Portanto, justificamos que: