Calcule o limite de cada sequência de funções, em seguida classifique o tipo de convergência (simples ou uniforme):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da sequência de funções para cada diferente de zero. Além disso, vamos descobrir se essa convergência é simples, ou seja, ponto a ponto, ou se é uniforme, que significa que a convergência acontece de maneira igual para todos os valores de ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções e entender um pouquinho sobre tipos de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito. A gente tem:
Vamos analisar o comportamento dessa função conforme cresce muito.
Passo 3
Observando a função, quando fica muito grande, o termo no denominador vai dominar o 1. Então, para simplificar, podemos aproximar:
E sabemos que tende a 0 quando vai para o infinito. Portanto,
Isso significa que, para cada , a sequência converge para 0.
Passo 4
Agora, vamos verificar o tipo de convergência. A convergência simples ou ponto a ponto já vimos que ocorre para cada . Para a convergência uniforme, precisamos que a diferença entre e o limite (que é 0) seja menor que qualquer para todo no domínio, quando for suficientemente grande.
Vamos calcular:
Para , conforme aumenta, também aumenta, fazendo diminuir. Porém, para números muito próximos de 0, pode não se aproximar de 0 tão rapidamente, o que pode impedir a convergência uniforme, já que precisamos que a aproximação funcione para todos os ao mesmo tempo.
Passo 5
Concluímos que a sequência converge para 0 para cada de forma ponto a ponto, mas não de maneira uniforme, já que não conseguimos garantir que a aproximação seja igualmente válida para todos os simultaneamente.
Resposta
A sequência de funções converge para 0 de forma simples (ponto a ponto), mas não apresenta convergência uniforme.