Utilize o teste M de Weierstrass para mostrar que a série indicada converge absoluta e uniformemente no domínio indicado:
em
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos a série infinita
e queremos mostrar que ela converge de forma absoluta e uniforme para todo
real usando o Teste M de Weierstrass. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teste para séries de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste M de Weierstrass. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série de funções converge uniformemente. Ele diz que se para cada termo da série de funções
existe um número
tal que
para todo
no domínio, e se a série
converge, então a série original
converge absolutamente e uniformemente.
Passo 3
Agora, vamos identificar os termos da nossa série. No caso, cada termo é
. Precisamos encontrar valores
que sejam maiores ou iguais a
para todo
.
Passo 4
Observando a expressão
, percebemos que
é sempre positivo ou zero para qualquer
. Então, temos:
Isso significa que:
Portanto, podemos escolher
.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a série
converge. Sabemos que essa é uma série p com
, e séries do tipo
convergem quando
. Então, nossa série
converge.
Passo 6
Como encontramos
tal que
para todo
e a série
converge, pelo Teste M de Weierstrass, concluímos que a série
converge absoluta e uniformemente no domínio
.
Resposta
A série
converge absolutamente e uniformemente para todo
pelo Teste M de Weierstrass.
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Utilize o teste M de Weierstrass para mostrar que a série indicada converge absoluta e uniformemente no domínio indicado:
em
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.