Utilize o teste M de Weierstrass para mostrar que a série indicada converge absoluta e uniformemente no domínio indicado:
em

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos a série infinita e queremos mostrar que ela converge de forma absoluta e uniforme para todo real usando o Teste M de Weierstrass. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teste para séries de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste M de Weierstrass. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série de funções converge uniformemente. Ele diz que se para cada termo da série de funções existe um número tal que para todo no domínio, e se a série converge, então a série original converge absolutamente e uniformemente.

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos da nossa série. No caso, cada termo é . Precisamos encontrar valores que sejam maiores ou iguais a para todo .

Passo 4

Observando a expressão , percebemos que é sempre positivo ou zero para qualquer . Então, temos:
Isso significa que:
Portanto, podemos escolher .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a série converge. Sabemos que essa é uma série p com , e séries do tipo convergem quando . Então, nossa série converge.

Passo 6

Como encontramos tal que para todo e a série converge, pelo Teste M de Weierstrass, concluímos que a série converge absoluta e uniformemente no domínio .

Resposta

A série converge absolutamente e uniformemente para todo pelo Teste M de Weierstrass.

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.