Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada. Lembre-se de justificar sua resposta.
lim x -2 raiz2 x^2+1-3x^3+8

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de -2 da função . Isso pertence à matéria de limites em Cálculo. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão e evitar a forma indeterminada .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos diretamente na função:
  • No numerador:
  • No denominador:
    Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver essa indeterminação é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de é . Isso ajuda a eliminar a raiz quadrada no numerador.

Passo 4

Vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado:
raiz2x^2 + 1 - 3x^3 + 8 times raiz2x^2 + 1 + 3raiz2x^2 + 1 + 3 = (raiz2x^2 + 1)^2 - 3^2(x^3 + 8)(raiz2x^2 + 1 + 3)
No numerador, usamos a identidade .

Passo 5

Simplificando o numerador:
(raiz2x^2 + 1)^2 - 9 = 2x^2 + 1 - 9 = 2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x - 2)(x + 2)
Agora, o denominador original x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) pode ser fatorado usando a soma de cubos:

Passo 6

Substituindo as fatorações na expressão:
2(x - 2)(x + 2)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)(raiz2x^2 + 1 + 3)
Agora, podemos cancelar o fator que está no numerador e no denominador.

Passo 7

Após cancelar, a expressão fica:
2(x - 2)(x^2 - 2x + 4)(raiz2x^2 + 1 + 3)
Agora, podemos substituir 2(-2 - 2)((-2)^2 - 2(-2) + 4)(raiz2(-2)^2 + 1 + 3) = 2(-4)(4 + 4 + 4)(3 + 3) = -812 times 6 = -872 = -19 diretamente na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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