Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada. Lembre-se de justificar sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite quando
se aproxima de -2 da função
. Isso pertence à matéria de limites em Cálculo. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão e evitar a forma indeterminada
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na função:
- No numerador:
- No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver essa indeterminação é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Isso ajuda a eliminar a raiz quadrada no numerador.
Passo 4
Vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado:
No numerador, usamos a identidade
.
Passo 5
Simplificando o numerador:
Agora, o denominador original
pode ser fatorado usando a soma de cubos:
Passo 6
Substituindo as fatorações na expressão:
Agora, podemos cancelar o fator
que está no numerador e no denominador.
Passo 7
Após cancelar, a expressão fica:
Agora, podemos substituir
diretamente na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.