Considere, onde estiverem bem definidas, as funções
e Valor: 4 pontos
.
Determine a expressão e o domínio de
.
Determine a expressão e o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções:
A pergunta quer que a gente encontre a expressão da composição das funções
e também o domínio dessa composição.
Aqui, estamos trabalhando com composição de funções, que é basicamente aplicar uma função dentro da outra. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e também como determinar o domínio de uma função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Isso significa que vamos aplicar a função
primeiro e depois usar o resultado como entrada para a função
. Em termos matemáticos, isso fica assim:
Então, nosso primeiro passo é calcular
e depois substituir esse valor na função
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos usar esse resultado como entrada para a função
:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a expressão da composição fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio da função composta
. O domínio de uma função composta é o conjunto de todos os valores de
para os quais
está no domínio de
.
Primeiro, vamos lembrar que para
, o que está dentro da raiz, ou seja,
, deve ser maior ou igual a zero:
Mas, no caso da composição, o
dentro de
é
. Então, precisamos que:
Sabemos que
varia entre -1 e 1. Então,
sempre será maior ou igual a zero porque:
Isso significa que o domínio da composição
depende apenas do domínio de
.
Passo 5
Agora, vamos verificar o domínio de
. A função cosseno,
, está definida para todos os números reais. Portanto,
também está definido para todo
real.
Assim, não há restrições adicionais para o domínio da composição
além de
ser um número real.
Resposta
A expressão da composição é
e seu domínio é todos os números reais, ou seja,
.