Considere, onde estiverem bem definidas, as funções f(x) = 2 - cos(x) e Valor: 4 pontos g(x) = 1 - raiz(x - 1).
Determine a expressão e o domínio de g(f).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções:
A pergunta quer que a gente encontre a expressão da composição das funções e também o domínio dessa composição.
Aqui, estamos trabalhando com composição de funções, que é basicamente aplicar uma função dentro da outra. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e também como determinar o domínio de uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Isso significa que vamos aplicar a função primeiro e depois usar o resultado como entrada para a função . Em termos matemáticos, isso fica assim:
Então, nosso primeiro passo é calcular e depois substituir esse valor na função .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos usar esse resultado como entrada para a função :
Simplificando dentro da raiz:
Então, a expressão da composição fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio da função composta . O domínio de uma função composta é o conjunto de todos os valores de para os quais está no domínio de .
Primeiro, vamos lembrar que para , o que está dentro da raiz, ou seja, , deve ser maior ou igual a zero:
Mas, no caso da composição, o dentro de é . Então, precisamos que:
Sabemos que varia entre -1 e 1. Então, sempre será maior ou igual a zero porque:
Isso significa que o domínio da composição depende apenas do domínio de .

Passo 5

Agora, vamos verificar o domínio de . A função cosseno, , está definida para todos os números reais. Portanto, também está definido para todo real.
Assim, não há restrições adicionais para o domínio da composição além de ser um número real.

Resposta

A expressão da composição é e seu domínio é todos os números reais, ou seja, .

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