Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada. Lembre-se de justificar sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite:
Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, que é fundamental para entender como funções se comportam perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades básicas das funções trigonométricas e das limitações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo quando se aproxima de . Vamos fazer uma pequena mudança de variável para simplificar a expressão. Seja . Assim, quando se aproxima de , se aproxima de 0.
Então, podemos reescrever o limite em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante da função tangente: a tangente de um ângulo somado a é igual à tangente do ângulo original. Matematicamente, isso fica assim:
Então, substituindo na nossa expressão:

Passo 4

Nesse ponto, temos um limite clássico em cálculo:
Sabemos que, para próximo de 0, é aproximadamente igual a . Isso significa que:

Resposta

Portanto, o limite é igual a 1.

Exercícios relacionados

Considere, onde estiverem bem definidas, as funções e Valor: 4 pontos .
Determine todos os valores de tais que .
O gráfico da função inversa de uma função afim passa pelos pontos e . A única solução de é:
(a) 0
© 2
(e) 4
(b) 1
(d) 3
Resolva a inequação: .
Resolva a inequação: .