Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada. Lembre-se de justificar sua resposta.
lim x pi tg(x)x-pi

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite:
lim x pi tan(x)x-pi
Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, que é fundamental para entender como funções se comportam perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades básicas das funções trigonométricas e das limitações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo quando limh 0 tan(pi + h)h se aproxima de . Vamos fazer uma pequena mudança de variável para simplificar a expressão. Seja . Assim, quando se aproxima de , se aproxima de 0.
Então, podemos reescrever o limite em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante da função tangente: a tangente de um ângulo somado a tan(pi + h) = tan(h) é igual à tangente do ângulo original. Matematicamente, isso fica assim:
limh 0 tan(h)h
Então, substituindo na nossa expressão:

Passo 4

Nesse ponto, temos um limite clássico em cálculo:
limh 0 tan(h)h
Sabemos que, para limh 0 tan(h)h = 1 próximo de 0, é aproximadamente igual a . Isso significa que:

Resposta

Portanto, o limite é igual a 1.

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