Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui estamos lidando com limites em duas variáveis, ou seja, quando se aproxima de . Para resolver, vamos precisar entender como o valor do limite pode mudar dependendo do caminho que escolhemos para chegar até .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos um limite com duas variáveis, a gente precisa verificar se o resultado é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para se aproximar do ponto. Se o resultado variar com o caminho, o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos diferentes. Um caminho simples é quando . Substituindo na função, temos:
Então, se nos aproximarmos de ao longo do eixo x, o limite é 1.

Passo 4

Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, . Substituindo na função:
Assim, se nos aproximarmos de ao longo da linha , o limite é .

Passo 5

Vimos que dependendo do caminho que escolhemos, o limite assume valores diferentes: 1 no primeiro caso e no segundo. Isso significa que o limite depende do caminho seguido para chegar em .

Resposta

O limite não existe, pois assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.

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Determine: as direções em que tem taxa de variação máxima e mínima.
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(b) Use a definição de integral definida (com as extremidades direitas) para calcular o valor da integral
Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.