Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui estamos lidando com limites em duas variáveis, ou seja, quando
se aproxima de
. Para resolver, vamos precisar entender como o valor do limite pode mudar dependendo do caminho que escolhemos para chegar até
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos um limite com duas variáveis, a gente precisa verificar se o resultado é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para se aproximar do ponto. Se o resultado variar com o caminho, o limite não existe.
Passo 3
Vamos testar alguns caminhos diferentes. Um caminho simples é quando
. Substituindo na função, temos:
Então, se nos aproximarmos de
ao longo do eixo x, o limite é 1.
Passo 4
Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo,
. Substituindo na função:
Assim, se nos aproximarmos de
ao longo da linha
, o limite é
.
Passo 5
Vimos que dependendo do caminho que escolhemos, o limite assume valores diferentes: 1 no primeiro caso e
no segundo. Isso significa que o limite depende do caminho seguido para chegar em
.
Resposta
O limite
não existe, pois assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.
Exercícios relacionados
Determine: as direções em que
tem taxa de variação máxima e mínima.
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(b) Use a definição de integral definida (com as extremidades direitas) para calcular o valor da integral
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.