Calcule o limite, L, quando existir. Caso contrário, justifique. lim (x, y) (0,0) xx+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) xx+y. Aqui estamos lidando com limites em duas variáveis, ou seja, quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para resolver, vamos precisar entender como o valor do limite pode mudar dependendo do caminho que escolhemos para chegar até (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos um limite com duas variáveis, a gente precisa verificar se o resultado é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para se aproximar do ponto. Se o resultado variar com o caminho, o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos diferentes. Um caminho simples é quando y = 0. Substituindo na função, temos:
xx + 0 = xx = 1
Então, se nos aproximarmos de (0,0) ao longo do eixo x, o limite é 1.

Passo 4

Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, y = x. Substituindo na função:
xx + x = x2x = 12
Assim, se nos aproximarmos de (0,0) ao longo da linha y = x, o limite é 12.

Passo 5

Vimos que dependendo do caminho que escolhemos, o limite assume valores diferentes: 1 no primeiro caso e 12 no segundo. Isso significa que o limite depende do caminho seguido para chegar em (0,0).

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) xx+y não existe, pois assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.

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