Calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique por quê?
lim h 0 (2+h)^3h

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos calcular o limite conforme se aproxima de zero para a expressão . Esse exercício pertence à matéria de Cálculo, mais especificamente ao estudo de limites. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de limites e realizar algumas manipulações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador . Saber como expandir potências é fundamental aqui.

Passo 3

Expandindo (2 + h)^3 = 2^3 + 3 cdot 2^2 cdot h + 3 cdot 2 cdot h^2 + h^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3 :

Passo 4

Agora, substituímos a expansão de volta na expressão original:
(2 + h)^3h = 8 + 12h + 6h^2 + h^3h

Passo 5

Dividindo cada termo no numerador por 8h + 12hh + 6h^2h + h^3h = 8h + 12 + 6h + h^2 :

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando se aproxima de zero:
  • : conforme se aproxima de zero, tende ao infinito positivo se é positivo e ao infinito negativo se é negativo.
  • , , e : esses termos tendem a valores limitados (12, 0 e 0, respectivamente).

Passo 7

Como não tende a um único valor finito e depende da direção pela qual se aproxima de zero, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe pois a expressão tende a pela direita e a pela esquerda de zero.

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