Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.
lim x -4(|x+4|-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -4(|x+4|-2 x). Esse é um exercício de Cálculo, especificamente sobre limites envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto se comporta perto de x = -4 e calcular os limites à esquerda e à direita desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de uma expressão, como |x+4|, depende do sinal de x+4. Ou seja, se x+4 for positivo, |x+4| = x+4, e se for negativo, |x+4| = -(x+4). Nosso objetivo é calcular o limite quando x se aproxima de -4, então precisamos analisar o que acontece à medida que chegamos a esse valor por diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos considerar dois casos: quando x se aproxima de -4 pela esquerda (valores menores que -4) e pela direita (valores maiores que -4).
Caso 1: x -4^- (pela esquerda)
  • Aqui, x + 4 será um número negativo, porque estamos um pouco abaixo de -4.
  • Então, |x + 4| = -(x + 4).
  • Substituindo na expressão original: |x+4| - 2x = -(x + 4) - 2x = -x - 4 - 2x = -3x - 4.
  • Agora, calculamos o limite: limx -4^- (-3x - 4) = -3(-4) - 4 = 12 - 4 = 8.

Passo 4

Caso 2: x -4^+ (pela direita)
  • Aqui, x + 4 será um número positivo, porque estamos um pouco acima de -4.
  • Então, |x + 4| = x + 4.
  • Substituindo na expressão original: |x+4| - 2x = (x + 4) - 2x = -x + 4.
  • Agora, calculamos o limite: limx -4^+ (-x + 4) = -(-4) + 4 = 4 + 4 = 8.

Resposta

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e valem 8, o limite existe e é igual a 8.
boxed8

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