Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse é um exercício de Cálculo, especificamente sobre limites envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto se comporta perto de e calcular os limites à esquerda e à direita desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de uma expressão, como , depende do sinal de . Ou seja, se for positivo, , e se for negativo, . Nosso objetivo é calcular o limite quando se aproxima de , então precisamos analisar o que acontece à medida que chegamos a esse valor por diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos considerar dois casos: quando se aproxima de pela esquerda (valores menores que ) e pela direita (valores maiores que ).
Caso 1: (pela esquerda)
  • Aqui, será um número negativo, porque estamos um pouco abaixo de .
  • Então, .
  • Substituindo na expressão original: .
  • Agora, calculamos o limite: .

Passo 4

Caso 2: (pela direita)
  • Aqui, será um número positivo, porque estamos um pouco acima de .
  • Então, .
  • Substituindo na expressão original: .
  • Agora, calculamos o limite: .

Resposta

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e valem 8, o limite existe e é igual a .

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