Calcule o limite, se existir:
m) lim x 9 x^2-81raizx-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com um limite que envolve funções polinomiais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões que resultam em formas indeterminadas, como , usando fatoração e racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9) . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Isso facilita a simplificação da expressão.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador . Quando substituímos , tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, resultando em uma forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos eliminar essa indeterminação.

Passo 4

Uma estratégia útil é multiplicar e dividir a expressão por um termo que ajude a simplificar o denominador. Vamos multiplicar o denominador (x - 9)(x + 9)raizx - 3 times raizx + 3raizx + 3 = (x - 9)(x + 9)(raizx + 3)(raizx - 3)(raizx + 3) pelo seu conjugado . Assim, multiplicamos a fração inteira por :

Passo 5

No denominador, aplicamos a identidade de diferença de quadrados:
(raizx - 3)(raizx + 3) = x - 9
Substituindo isso na expressão, temos:
(x - 9)(x + 9)(raizx + 3)x - 9

Passo 6

Agora, podemos simplificar o termo cancel(x - 9)(x + 9)(raizx + 3)cancelx - 9 = (x + 9)(raizx + 3) que está tanto no numerador quanto no denominador:

Passo 7

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo (x + 9)(raizx + 3) = (9 + 9)(raiz9 + 3) = 18 times (3 + 3) = 18 times 6 = 108 por 9:

Resposta

O limite é igual a .

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