Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai analisar se a série
converge ou não. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra série que já sabemos se ela converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e alguns limites matemáticos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. A raiz n-ésima de n,
, pode ser reescrita como
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito. Sabemos que:
Isso porque, conforme
cresce, a raiz n-ésima de n se aproxima de 1. Portanto,
Passo 4
Com base nisso, nosso termo geral se comporta como
para valores grandes de
. Sabemos que a série
é a famosa Série Harmônica, que é divergente.
Passo 5
Aplicando o Critério da Comparação pelo Limite, comparamos nossa série
com a série harmônica. Calculamos o limite:
Como o limite é um número finito e positivo diferente de zero, as duas séries têm o mesmo comportamento. Então, se a série harmônica diverge, a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Calcule o limite, se existir:
m)
m)
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Usando a continuidade e o
Limite Fundamental do Cálculo, encontre:
j)
j)
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