Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty raiz[n]nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai analisar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra série que já sabemos se ela converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e alguns limites matemáticos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: raiz[n]nn = n^1/nn = n^1/n - 1 . A raiz n-ésima de n, , pode ser reescrita como . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de limn to infty n^1/n = 1 quando limn to infty n^1/n - 1 = 1^ -1 = 1 tende ao infinito. Sabemos que:
Isso porque, conforme cresce, a raiz n-ésima de n se aproxima de 1. Portanto,

Passo 4

Com base nisso, nosso termo geral se comporta como para valores grandes de . Sabemos que a série é a famosa Série Harmônica, que é divergente.

Passo 5

Aplicando o Critério da Comparação pelo Limite, comparamos nossa série limn to infty raiz[n]nn1n = limn to infty raiz[n]n = 1 com a série harmônica. Calculamos o limite:
Como o limite é um número finito e positivo diferente de zero, as duas séries têm o mesmo comportamento. Então, se a série harmônica diverge, a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Calcule o limite, se existir:
m) lim x 9 x^2-81raizx-3
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty raiz[n]3n^3
Usando a continuidade e o 1^o Limite Fundamental do Cálculo, encontre:
j) lim x 0 sen(x)x+tg(x)
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty raizn+1-raiznraizn