Calcule o limite justifican do cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado com limites, um conceito fundamental no cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos limites e um truquezinho de álgebra chamado racionalização.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Esse resultado é uma indeterminação, ou seja, não conseguimos concluir nada diretamente. Então, precisamos de outro método.
Passo 3
Vamos racionalizar a expressão. Isso significa que vamos eliminar a raiz do numerador. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é
:
Passo 4
Agora, simplificamos o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora que simplificamos, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
A série triboelétrica é uma ordenação dos materiais segundo a carga que adquirem quando são atritados uns aos outros. Por exemplo, suponha que três materiais A, B e C apareçam nesta ordem na série triboelétrica: Primeiro o A , depois o B e depois o C . Isto significa que quando atritarmos o material A com o B , o A adquire carga positiva, e o B negativa; quando atritarmos A com o C , o A adquire carga positiva, e o C negativa; e quando atritarmos B com o C , o B adquire carga positiva, e o C negativa. Os experimentos que estebeleceram esta série estão entre os primeiros a estabelecerem que a força entre objetos carregados pode ser atrativa ou repulsiva, e que isto está associado a dois
Imagine uma série de experimentos visando estabelecer a posição relativa na série triboelétrica de 4 materiais: Vidro, teflon, couro e papel. No experimento 1, nós pegamos exemplares dos 4 materiais acima, todos inicialmente neutros (verificamos esta informação observando que inicialmente, nenhum exerce força elétrica em nenhum) e atritamos o vidro contra o papel, e o couro contra o teflon. Após termos feito isso, notamos que existe agora uma força atrativa entre o vidro e o papel, entre o couro e o teflon, entre o vidro e o teflon, e entre o papel e o couro; notamos também que existe uma força repulsiva entre o vidro e o couro, e entre o papel e o teflon. Na sequência, nós realizamos o experimento 2. Para isso, nós pegamos outros exemplares dos 4 materiais, inicialmente neutros, e atritamos o vidro contra o couro, e o teflon contra o papel. Após termos feito isso, notamos que existe agora uma força atrativa entre o vidro e o couro, entre o teflon e o papel, entre o vidro e o papel, e entre o couro e o teflon; notamos também que existe uma força repulsiva entre o vidro e o teflon, e entre o papel e o couro. Além disso, notamos que existe uma força atrativa entre o pedaço de vidro usado no experimento 1 e o pedaço de vidro usado no experimento 2 .
Suponha que a carga que o vidro ganhou no primeiro experimento seja positiva. Assumindo a lei de Coulomb, construa a série triboelétrica destes quatro materiais.
Imagine uma série de experimentos visando estabelecer a posição relativa na série triboelétrica de 4 materiais: Vidro, teflon, couro e papel. No experimento 1, nós pegamos exemplares dos 4 materiais acima, todos inicialmente neutros (verificamos esta informação observando que inicialmente, nenhum exerce força elétrica em nenhum) e atritamos o vidro contra o papel, e o couro contra o teflon. Após termos feito isso, notamos que existe agora uma força atrativa entre o vidro e o papel, entre o couro e o teflon, entre o vidro e o teflon, e entre o papel e o couro; notamos também que existe uma força repulsiva entre o vidro e o couro, e entre o papel e o teflon. Na sequência, nós realizamos o experimento 2. Para isso, nós pegamos outros exemplares dos 4 materiais, inicialmente neutros, e atritamos o vidro contra o couro, e o teflon contra o papel. Após termos feito isso, notamos que existe agora uma força atrativa entre o vidro e o couro, entre o teflon e o papel, entre o vidro e o papel, e entre o couro e o teflon; notamos também que existe uma força repulsiva entre o vidro e o teflon, e entre o papel e o couro. Além disso, notamos que existe uma força atrativa entre o pedaço de vidro usado no experimento 1 e o pedaço de vidro usado no experimento 2 .
Suponha que a carga que o vidro ganhou no primeiro experimento seja positiva. Assumindo a lei de Coulomb, construa a série triboelétrica destes quatro materiais.
Uma carga negativa
de massa
existe no plano
, no qual duas outras cargas positivas
estão posicionadas em
e
, respectivamente, com
.
Dê a expressão para sua aceleração quando ela se encontra no ponto , com
.
Dê a expressão para sua aceleração quando ela se encontra no ponto
Em um plano
, Duas partículas são mantidas fixas no eixo
. A partícula 1, de carga
, está situada em
, e a partícula 2 , de carga
, está situada em
. A partícula 3 está incialmente no eixo
e é liberada, a partir do repouso, no ponto
. O valor da carga da partícula 3 é
. Determine o valor de
para que a aceleração incial da partícula 3 seja no sentido positivo do eixo
.
Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja a constante elástica é
e o sistema inteiro é submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento (em Newtons) numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea da massa (
). Determine as equações do movimento (i.e. a posição da massa em qualquer instante) quando:
a) a massa parte do repouso a um ponto 1 m abaixo da posição de equilỉrio;
a) a massa parte do repouso a um ponto 1 m abaixo da posição de equilỉrio;